В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH составляет 8, а синус угла A равен 0,6. Как можно определить длину стороны BC?

Математика 10 класс Треугольники и тригонометрия треугольник ABC угол C высота CH синус угла A длина стороны BC Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C равен 90°.
• Высота CH равна 8.
• Синус угла A равен 0,6.

Сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике синус угла A определяется как отношение противолежащей стороны (в данном случае стороны BC) к гипотенузе (стороне AB):

sin(A) = противолежащая сторона / гипотенуза

Пусть BC = a, а AB = c. Тогда мы можем записать:

0,6 = a / c

Из этого уравнения мы можем выразить сторону a:

a = 0,6c

Теперь давайте найдем длину гипотенузы c. В прямоугольном треугольнике высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка, которые являются основаниями двух других треугольников, образованных высотой CH.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, мы можем использовать формулу:

CH = (AB * BC) / AC

Где AC - это длина стороны, прилежащей к углу A. Но нам нужно найти AC. Мы можем использовать теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Подставим известные значения. Сначала найдем AC. Используя синус угла A:

cos(A) = sqrt(1 - sin^2(A)) = sqrt(1 - 0,6^2) = sqrt(1 - 0,36) = sqrt(0,64) = 0,8

Теперь мы можем выразить AC через BC:

AC = 0,8c

Теперь подставим значения в теорему Пифагора:

c^2 = (0,8c)^2 + a^2

Подставим a = 0,6c:

c^2 = (0,8c)^2 + (0,6c)^2

Раскроем скобки:

c^2 = 0,64c^2 + 0,36c^2

Сложим правую часть:

c^2 = c^2

Теперь, используя высоту CH = 8, мы можем найти c:

CH = (AB * BC) / AC = (c * a) / (0,8c) = (0,6c^2) / (0,8c) = 0,75c

Подставим значение CH:

8 = 0,75c

Теперь найдем c:

c = 8 / 0,75 = 10.67

Теперь мы можем найти сторону BC:

a = 0,6c = 0,6 * 10.67 = 6.4

Таким образом, длина стороны BC равна 6.4.