В остроугольном треугольнике наибольший угол в пять раз больше наименьшего. Каковы углы этого треугольника, если все углы выражаются целым числом градусов?
Математика10 классУглы треугольникаостроугольный треугольникуглы треугольниканаибольший уголнаименьший уголзадача по математике
Для решения задачи начнем с обозначения углов треугольника. Пусть:
По условию задачи, наибольший угол в пять раз больше наименьшего:
γ = 5α
Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, мы можем записать следующее уравнение:
α + β + γ = 180
Теперь подставим выражение для γ в это уравнение:
α + β + 5α = 180
Упростим это уравнение:
6α + β = 180
Теперь выразим β через α:
β = 180 - 6α
Поскольку треугольник остроугольный, все его углы должны быть меньше 90 градусов. Это означает, что:
Рассмотрим первое условие:
α < 90
Теперь рассмотрим второе условие:
β < 90:
Подставим выражение для β:
180 - 6α < 90
Решим это неравенство:
Теперь рассмотрим третье условие:
γ < 90:
Подставим выражение для γ:
5α < 90
Теперь у нас есть два неравенства:
Поскольку α должно быть целым числом, единственное подходящее значение для α - это 16. Теперь найдем остальные углы:
γ = 5α = 5 * 16 = 80
β = 180 - 6α = 180 - 6 * 16 = 180 - 96 = 84
Теперь у нас есть все углы треугольника:
Таким образом, углы треугольника равны 16°, 84° и 80°.