В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 2cos α и 3sin α. Как найти квадрат меньшего катета? Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Математика 10 класс Треугольники прямоугольный треугольник острый угол катеты квадрат катета косинус синус обыкновенная дробь математика Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник с острым углом α, где катеты равны 2cos α и 3sin α. Нам нужно найти квадрат меньшего катета.

Сначала определим, какой из катетов меньше. Сравним 2cos α и 3sin α:

• Если 2cos α < 3sin α, то меньший катет - это 2cos α.
• Если 2cos α > 3sin α, то меньший катет - это 3sin α.

Теперь давайте выразим это неравенство:

2cos α < 3sin α <=> 2/3 < sin α/cos α <=> 2/3 < tg α.

Таким образом, мы можем заключить, что если tg α > 2/3, то 2cos α является меньшим катетом, а если tg α < 2/3, то меньшим катетом будет 3sin α.

Теперь найдем квадрат меньшего катета в зависимости от значения tg α:

1. Если tg α > 2/3, то меньший катет равен 2cos α. Его квадрат будет:

(2cos α)² = 4cos² α.

2. Если tg α < 2/3, то меньший катет равен 3sin α. Его квадрат будет:

(3sin α)² = 9sin² α.

Теперь выразим 4cos² α и 9sin² α через одно значение. Используем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1.

Из этого тождества мы можем выразить cos² α:

cos² α = 1 - sin² α.

Теперь подставим это в квадрат меньшего катета:

• 4cos² α = 4(1 - sin² α) = 4 - 4sin² α.

Теперь сравним 4 - 4sin² α и 9sin² α:

4 - 4sin² α <=> 4 < 4sin² α + 9sin² α <=> 4 < 13sin² α <=> sin² α > 4/13.

Таким образом, в зависимости от значения sin² α мы можем определить, какой из катетов меньше и найти его квадрат.

В конечном итоге, если sin² α < 4/13, то меньший катет равен 2cos α и его квадрат равен 4 - 4sin² α. Если sin² α > 4/13, то меньший катет равен 3sin α и его квадрат равен 9sin² α.

Итак, ответ на вопрос о квадрате меньшего катета зависит от значения sin² α. Если нужно конкретное значение, то необходимо знать угол α или значение sin α.