Я решала такую задачу: дан треугольник ABC, где AB = 7 и BC = 8. Угол C равен 60 градусов, и надо найти площадь треугольника. Я применяла теорему косинусов, чтобы найти сторону AC. В итоге получилось такое уравнение: 49 = 64 + AC^2 - 16AC * cos60. В итоге AC = 3 и 5, оба подходят. Что это означает и как понять, какое значение подходит?

Математика 10 класс Треугольники площадь треугольника теорема косинусов треугольник ABC угол C стороны треугольника решение задачи значения AC геометрия математика 10 класс вычисление площади Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам и поймем, как правильно выбрать значение для стороны AC.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть треугольник ABC, где:

• AB = 7
• BC = 8
• Угол C = 60 градусов

Наша цель - найти сторону AC и затем площадь треугольника.

Шаг 2: Применение теоремы косинусов

Вы правильно применили теорему косинусов, которая гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где:

• c - сторона, которую мы ищем (в нашем случае AC)
• a и b - другие две стороны треугольника (AB и BC)
• C - угол между сторонами a и b (угол C)

Подставляя значения, мы получили:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(C)

Таким образом, у нас есть:

AC^2 = 7^2 + 8^2 - 2 * 7 * 8 * cos(60)

Теперь подставим cos(60) = 0.5:

AC^2 = 49 + 64 - 2 * 7 * 8 * 0.5

AC^2 = 49 + 64 - 56

AC^2 = 57

Теперь, чтобы найти AC, нам нужно взять корень из 57, но в вашем уравнении вы получили два значения: AC = 3 и AC = 5. Давайте разберемся, откуда они взялись.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Вы привели уравнение к виду:

49 = 64 + AC^2 - 16AC * cos(60)

Это уравнение можно преобразовать в квадратное уравнение относительно AC. Когда вы решаете квадратное уравнение, вы можете получить два решения, как в вашем случае. Это происходит, потому что уравнение может иметь два разных корня.

Шаг 4: Анализ значений AC

Теперь у вас есть два возможных значения для AC: 3 и 5. Чтобы понять, какое из них подходит, нужно учитывать, что в треугольнике сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Проверим оба значения:

• Если AC = 3: 7 + 3 > 8 (выполняется), 7 + 8 > 3 (выполняется), 3 + 8 > 7 (выполняется).
• Если AC = 5: 7 + 5 > 8 (выполняется), 7 + 8 > 5 (выполняется), 5 + 8 > 7 (выполняется).

Оба значения удовлетворяют неравенству треугольника, поэтому оба могут быть допустимыми.

Шаг 5: Площадь треугольника

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, вы можете использовать формулу:

Площадь = 0.5 * AB * BC * sin(C)

Так как угол C равен 60 градусов, sin(60) = √3/2. Подставим значения:

Площадь = 0.5 * 7 * 8 * (√3/2) = 28√3/2 = 14√3.

Эта площадь будет одинаковой для обоих случаев, так как она зависит только от сторон AB, BC и угла C.

Вывод

Таким образом, оба значения для AC допустимы, и их выбор не влияет на площадь треугольника, так как она определяется другими параметрами. Важно помнить, что в некоторых случаях в треугольниках могут быть два возможных решения, и это нормально.