1) Как решить уравнение 2sin(7п/2-x)*sinx=cosx?

2) Как найти все корни этого уравнения, которые принадлежат промежутку [7п/2;5п]?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения уравнение 2sin(7п/2-x)*sinx=cosx корни уравнения промежуток [7п/2;5п] математика тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2sin(7π/2 - x) * sin(x) = cos(x), начнем с упрощения левой части уравнения. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения.

1. Сначала преобразуем sin(7π/2 - x). Используя свойство синуса, имеем:

• sin(7π/2 - x) = sin(π/2 + 3π - x) = cos(x)

Таким образом, уравнение становится:

2 cos(x) sin(x) = cos(x)

2. Теперь можем разделить обе стороны уравнения на cos(x), но при условии, что cos(x) ≠ 0. Мы получаем:

2 * sin(x) = 1

3. Теперь решим это уравнение:

• sin(x) = 1/2

4. Находим решения для sin(x) = 1/2. Это происходит при:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

где k - любое целое число.

5. Теперь рассмотрим случай, когда cos(x) = 0. Это происходит при:

• x = π/2 + kπ

где k - любое целое число.

Теперь у нас есть два типа решений. Давайте найдем все корни, которые принадлежат промежутку [7π/2; 5π].

6. Рассмотрим первое уравнение sin(x) = 1/2:

• Для k = 0: x = π/6 (не входит в промежуток)
• Для k = 0: x = 5π/6 (не входит в промежуток)
• Для k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6 (не входит в промежуток)
• Для k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (не входит в промежуток)
• Для k = -1: x = π/6 - 2π = -11π/6 (не входит в промежуток)
• Для k = -1: x = 5π/6 - 2π = -7π/6 (не входит в промежуток)

Таким образом, решения для sin(x) = 1/2 в заданном промежутке отсутствуют.

7. Теперь рассмотрим второе уравнение cos(x) = 0:

• Для k = 0: x = π/2 (не входит в промежуток)
• Для k = 1: x = π/2 + π = 3π/2 (не входит в промежуток)
• Для k = 2: x = π/2 + 2π = 5π/2 (входит в промежуток)

<li>Для k = 3: x = π/2 + 3π = 7π/2 (не входит в промежуток)</li>

Таким образом, единственное решение в промежутке [7π/2; 5π]:

x = 5π/2

8. Подводя итог, все корни уравнения 2sin(7π/2 - x) * sin(x) = cos(x), которые принадлежат промежутку [7π/2; 5π], это:

x = 5π/2.