Давайте разберем, как решить уравнение 2sin(7π/2 - x) * sin(x) = cos(x) и найти все корни, которые принадлежат промежутку [7π/2; 5π].

Сначала упростим левую часть уравнения. Используем формулу для синуса разности:

• sin(7π/2 - x) = sin(7π/2) * cos(x) - cos(7π/2) * sin(x).

Значения синуса и косинуса для углов 7π/2:

• sin(7π/2) = 1,
• cos(7π/2) = 0.

Таким образом, можно переписать:

• sin(7π/2 - x) = 1 * cos(x) - 0 * sin(x) = cos(x).

Теперь подставим это в уравнение:

• 2 * cos(x) * sin(x) = cos(x).

Теперь у нас есть уравнение:

• 2 * cos(x) * sin(x) - cos(x) = 0.

Вынесем cos(x) за скобки:

• cos(x) * (2 * sin(x) - 1) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

1. cos(x) = 0,
2. 2 * sin(x) - 1 = 0.

Решение уравнения cos(x) = 0:

• x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни в заданном промежутке [7π/2; 5π]:

• k = 3: x = π/2 + 3π = 7π/2,
• k = 4: x = π/2 + 4π = 9π/2 (не попадает в промежуток),
• k = 2: x = π/2 + 2π = 5π/2 (не попадает в промежуток),
• k = 1: x = π/2 + π = 3π/2 (не попадает в промежуток),
• k = 0: x = π/2 (не попадает в промежуток).

Таким образом, единственный корень из этого уравнения в заданном промежутке - это x = 7π/2.

Теперь решим второе уравнение:

• 2 * sin(x) - 1 = 0
• sin(x) = 1/2.

Решения этого уравнения:

• x = π/6 + 2kπ,
• x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни в промежутке [7π/2; 5π]:

• Для k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6 (не попадает в промежуток),
• Для k = 0: x = π/6 (не попадает в промежуток),
• Для k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (не попадает в промежуток),
• Для k = 0: x = 5π/6 (не попадает в промежуток).

Таким образом, нет корней из этого уравнения в заданном промежутке.

В результате, единственный корень уравнения 2sin(7π/2 - x) * sin(x) = cos(x),который принадлежит промежутку [7π/2; 5π], это:

• x = 7π/2.