Решите уравнения:

1. sin x + 5 cos x = 0
2. 3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 cos²x = 0
3. 2 sin 2x = 3 - 2 sin²x
4. √3 sin x - cos x = -2

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические уравнения решение уравнений тригонометрические уравнения математика sin x cos x sin2x cos2x sin 2x математические задачи Новый

Давайте решим каждое из предложенных уравнений по порядку.

1. Уравнение: sin x + 5 cos x = 0

Первым шагом мы можем выразить sin x через cos x:

1. Переносим 5 cos x в правую часть: sin x = -5 cos x.
2. Делим обе стороны на cos x (при условии, что cos x не равен 0): tan x = -5.
3. Теперь находим x: x = arctan(-5) + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение: x = arctan(-5) + kπ.

2. Уравнение: 3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 cos²x = 0

Это уравнение можно решить, используя замену sin x = y и cos x = sqrt(1 - y²):

1. Подставляем cos²x = 1 - sin²x, получаем: 3y² - 5y * sqrt(1 - y²) + 2(1 - y²) = 0.
2. Упрощаем уравнение: 3y² - 5y * sqrt(1 - y²) + 2 - 2y² = 0.
3. Собираем подобные: y² - 5y * sqrt(1 - y²) + 2 = 0.

Это уравнение можно решить численно или графически, так как оно является квадратным по отношению к y и sqrt(1 - y²).

3. Уравнение: 2 sin 2x = 3 - 2 sin²x

Используем формулу для синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x. Подставляем в уравнение:

1. 2 * 2 sin x cos x = 3 - 2 sin²x.
2. Упрощаем: 4 sin x cos x = 3 - 2 sin²x.
3. Переносим все в одну сторону: 2 sin²x + 4 sin x cos x - 3 = 0.

Теперь можно использовать замену sin x = y и cos x = sqrt(1 - y²) для решения этого уравнения.

4. Уравнение: √3 sin x - cos x = -2

Сначала перенесем cos x в правую часть:

1. √3 sin x = cos x - 2.
2. Теперь делим обе стороны на cos x (при условии, что cos x не равен 0): tan x = (cos x - 2) / √3.

Это уравнение также можно решить численно или графически, так как оно не является простым тригонометрическим уравнением.

В результате, мы получили общее представление о том, как решать каждое из уравнений. Если вам нужны конкретные числовые решения, мы можем рассмотреть каждое уравнение более подробно.