1.       Как найти производные следующих функций и вычислить их значение?

 

1. а) f (x) = -x³ + 9 x² +x^-1; Найти f^{, (-1)}
2. б) у= x²+1/ x² - 1; найти у^{, (2)}
3. в) у = (3x⁴+5x³-2x²-15x – 45)⁴; у = sin² 3 x ³

Математика 11 класс Производные функций производные функций вычисление производных математика функции нахождение производных Новый

Давайте разберем, как находить производные указанных функций и вычислять их значения.

а) f(x) = -x^3 + 9x^2 + x - 1; Найти f'(-1)

1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:
• Производная от -x^3 равна -3x^2;
• Производная от 9x^2 равна 18x;
• Производная от x равна 1;
• Производная от -1 равна 0.
2. Теперь можем записать производную:
f'(x) = -3x^2 + 18x + 1
3. Теперь подставим x = -1 в производную:
f'(-1) = -3(-1)^2 + 18(-1) + 1 = -3 - 18 + 1 = -20

б) y = (x^2 + 1)/(x^2 - 1); Найти y'(2)

1. В данном случае воспользуемся правилом дифференцирования частного:
y' = (v * u' - u * v') / v^2, где u = x^2 + 1, v = x^2 - 1.
2. Найдём u' и v':
• u' = 2x;
• v' = 2x.
3. Теперь подставим в формулу:
y' = ((x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 1)(2x)) / (x^2 - 1)^2
4. Упростим выражение:
y' = (2x(x^2 - 1 - x^2 - 1)) / (x^2 - 1)^2 = (2x(-2)) / (x^2 - 1)^2 = -4x / (x^2 - 1)^2
5. Теперь подставим x = 2:
y'(2) = -4(2) / (2^2 - 1)^2 = -8 / (4 - 1)^2 = -8 / 9

в) y = (3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45)^4; Найти y'(x)

1. Здесь используем правило дифференцирования сложной функции (правило цепи):
y' = 4u^3 * u', где u = 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45.
2. Найдём u':
• u' = 12x^3 + 15x^2 - 4x - 15.
3. Теперь подставляем в формулу:
y' = 4(3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45)^3 * (12x^3 + 15x^2 - 4x - 15)

г) y = sin(2 * 3x); Найти y'(x)

1. Здесь также используем правило цепи:
y' = cos(2 * 3x) * (2 * 3) = 6 * cos(6x)

Теперь мы нашли производные для всех указанных функций и вычислили их значения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!