Как найти вторую производную функции (sin(x^2))?

Математика 11 класс Производные функций вторая производная функция sin(x^2) математика 11 класс производная вычисление производной правила дифференцирования тригонометрические функции математика для старших классов Новый

Чтобы найти вторую производную функции f(x) = sin(x^2), нужно сначала найти первую производную, а затем проделать то же самое с первой производной.

Следуем шагам:

1. Найдем первую производную f'(x).
2. Используем правило цепочки, так как у нас есть составная функция: sin(u), где u = x^2.
3. Первая производная sin(u) равна cos(u) * u', где u' - производная u по x.
4. Теперь находим производную u = x^2:
• u' = 2x.
5. Теперь подставляем u и u' в формулу для первой производной:
• f'(x) = cos(x^2) * 2x = 2x * cos(x^2).
6. Теперь найдем вторую производную f''(x).
7. Для этого снова используем правило произведения, так как f'(x) = 2x * cos(x^2) состоит из двух множителей.
8. Правило произведения гласит, что (uv)' = u'v + uv', где u = 2x и v = cos(x^2).
9. Сначала найдем производные u и v:
• u' = 2.
• v' = -sin(x^2) * (2x) (здесь мы снова применили правило цепочки для производной cos(u)).
10. Теперь подставим все в формулу для второй производной:
• f''(x) = u'v + uv' = 2 * cos(x^2) + 2x * (-sin(x^2) * 2x).
• Упрощаем это выражение:
• f''(x) = 2 * cos(x^2) - 4x^2 * sin(x^2).

Итак, в итоге, вторая производная функции f(x) = sin(x^2) равна:

f''(x) = 2 * cos(x^2) - 4x^2 * sin(x^2).