Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж:

 y=4/x, y=4x, y=0, x=4

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 4/x, y = 4x, y = 0 и x = 4, нам нужно сначала найти точки пересечения этих функций, а затем определить область, которую они ограничивают.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

1. Пересечение y = 4/x и y = 4x:

• Приравняем функции:
• 4/x = 4x
• Умножим обе стороны на x (x ≠ 0):
• 4 = 4x^2
• x^2 = 1
• x = 1 (так как x = -1 не подходит, так как x должен быть положительным).
• Теперь найдем значение y:
• y = 4/1 = 4.

Таким образом, первая точка пересечения: (1, 4).

2. Пересечение y = 4x и y = 0:

• Приравняем функции:
• 4x = 0
• x = 0.
• Следовательно, y = 0.

Вторая точка пересечения: (0, 0).

3. Пересечение y = 4/x и y = 0:

• 4/x = 0 не имеет решения, так как дробь не может равняться нулю.

Таким образом, мы имеем две ключевые точки: (0, 0) и (1, 4). Также важно учесть, что мы ограничены вертикальной линией x = 4.

Шаг 2: Построим чертеж.

На чертеже необходимо изобразить функции:

• y = 4/x будет гиперболой, которая проходит через точку (1, 4).
• y = 4x - прямая, проходящая через начало координат и точку (1, 4).
• y = 0 - это ось абсцисс.
• x = 4 - вертикальная линия, которая будет ограничивать область справа.

Шаг 3: Вычислим площадь области.

Площадь фигуры можно найти, используя интеграл. Мы будем интегрировать разность верхней функции и нижней функции от x = 0 до x = 1:

1. Верхняя функция на интервале [0, 1] - это 4/x, а нижняя - 4x. Площадь S равна:

S = ∫(4/x - 4x)dx от 0 до 1.

2. Вычислим интеграл:

• ∫(4/x)dx = 4ln|x|,
• ∫(4x)dx = 2x^2.

3. Подставим пределы интегрирования:

S = [4ln|x| - 2x^2] от 0 до 1.

4. Находим значение в точке 1:

S(1) = 4ln(1) - 2(1)^2 = 0 - 2 = -2.

5. Теперь находим значение в точке 0. Однако ln(0) не определен, поэтому мы используем предел:

lim (x→0) (4ln(x) - 2x^2).

Поскольку ln(x) стремится к -∞, а 2x^2 стремится к 0, мы видим, что площадь, ограниченная фигурами, будет равна 2.

Таким образом, окончательный ответ:

Площадь фигуры равна 2.