Как можно найти площадь фигуры, которая ограничена параболой y = x^2 - 2x - 1 и прямой y = -4x^2?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры парабола прямая y = x^2 - 2x - 1 y = -4x^2 11 класс математика интегралы графики нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^2 - 2x - 1 и прямой y = -4x^2, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых

Для начала нужно найти точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем уравнения:

• y = x^2 - 2x - 1
• y = -4x^2

Приравниваем их:

x^2 - 2x - 1 = -4x^2

Переносим все в одну сторону:

x^2 + 4x^2 - 2x - 1 = 0

Получаем:

5x^2 - 2x - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 5 * (-1) = 4 + 20 = 24

Так как D > 0, у нас есть два различных корня.

Корни уравнения можно найти по формуле:

x = ( -b ± √D ) / (2a)

Подставляем значения:

x = (2 ± √24) / 10 = (2 ± 2√6) / 10 = (1 ± √6) / 5

Таким образом, точки пересечения находятся в следующих координатах:

x1 = (1 - √6) / 5 и x2 = (1 + √6) / 5.

Шаг 2: Найдем площадь между кривыми

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, можем найти площадь между кривыми. Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫[x1, x2] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция, а g(x) - нижняя функция.

Для нашего случая:

• f(x) = x^2 - 2x - 1
• g(x) = -4x^2

Таким образом, площадь будет равна:

S = ∫[x1, x2] ((x^2 - 2x - 1) - (-4x^2)) dx = ∫[x1, x2] (5x^2 - 2x - 1) dx.

Шаг 3: Вычислим интеграл

Теперь вычислим интеграл:

S = ∫ (5x^2 - 2x - 1) dx = (5/3)x^3 - x^2 - x + C.

Теперь подставим пределы интегрирования x1 и x2:

S = [(5/3)(x2^3) - (x2^2) - (x2)] - [(5/3)(x1^3) - (x1^2) - (x1)].

Шаг 4: Подставим значения и найдем площадь

После подстановки значений x1 и x2, проведем вычисления для нахождения площади. Это может потребовать некоторого упрощения, но в конечном итоге вы получите численное значение площади фигуры, ограниченной этими кривыми.

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, следуя пошаговой инструкции.