Как можно найти площадь фигуры, которая ограничена параболой y=6x^2, прямой y=2x + 8 и осью OX?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры парабола y=6x^2 прямая y=2x + 8 ось OX 11 класс математика интегралы графики нахождение площади ограниченная фигура методы вычисления площади Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 6x^2, прямой y = 2x + 8 и осью OX, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых и оси OX.
   • Для параболы y = 6x^2 точки пересечения с осью OX находятся при y = 0. Решаем уравнение 6x^2 = 0, получаем x = 0.
   • Для прямой y = 2x + 8 точки пересечения с осью OX также находятся при y = 0. Решаем уравнение 2x + 8 = 0, получаем x = -4.
2. Найти точки пересечения параболы и прямой.
   • Приравняем уравнения: 6x^2 = 2x + 8.
   • Переносим все в одну сторону: 6x^2 - 2x - 8 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант: D = (-2)^2 - 4 * 6 * (-8) = 4 + 192 = 196.
   • Корни уравнения: x = (2 ± √196) / 12, получаем x = 1.5 и x = -0.5.
3. Определить границы интегрирования.
   • Площадь фигуры ограничена по оси x между точками пересечения x = -4 и x = 1.5.
4. Вычислить площадь фигуры с помощью интегрирования.
   • Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность функций от меньшего значения x до большего:
   • Интеграл от x = -0.5 до x = 1.5 для разности (2x + 8) - (6x^2).
   • Вычисляем интеграл: ∫[(2x + 8) - (6x^2)] dx от x = -0.5 до x = 1.5.
   • Решаем: ∫(2x + 8 - 6x^2) dx = [x^2 + 8x - 2x^3] от -0.5 до 1.5.
   • Подставляем пределы интегрирования и находим площадь.

Таким образом, мы находим площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью OX, с помощью интегрирования разности функций в пределах, определённых точками пересечения кривых.