Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, их полные поверхности равны по площади, а объемы также одинаковы. Каково отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади боковой поверхности конуса?

Математика 11 класс Геометрия отношение площади боковой поверхности цилиндр и конус одинаковые основания площадь боковой поверхности цилиндра площадь боковой поверхности конуса Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что обозначим радиус основания цилиндра и конуса как R, а высоту цилиндра как Hc и высоту конуса как Hk.

Сначала запишем формулы для объемов и площадей поверхностей цилиндра и конуса.

• Объем цилиндра: Vc = πR²Hc
• Объем конуса: Vk = (1/3)πR²Hk

Согласно условию, объемы цилиндра и конуса равны:

Vc = Vk

Подставим формулы объемов:

πR²Hc = (1/3)πR²Hk

Упростим уравнение, сократив πR² (при условии, что R ≠ 0):

Hc = (1/3)Hk

Теперь рассмотрим площади боковых поверхностей цилиндра и конуса.

• Площадь боковой поверхности цилиндра: Sbc = 2πRHc
• Площадь боковой поверхности конуса: Sbk = πR√(R² + Hk²)

Согласно условию задачи, полные поверхности цилиндра и конуса равны:

• Полная поверхность цилиндра: Sc = 2πR² + 2πRHc
• Полная поверхность конуса: Sk = πR² + πR√(R² + Hk²)

Приравняем полные поверхности:

2πR² + 2πRHc = πR² + πR√(R² + Hk²)

Упростим это уравнение:

πR² + 2πRHc = πR√(R² + Hk²)

Теперь подставим Hc = (1/3)Hk:

πR² + 2πR((1/3)Hk) = πR√(R² + Hk²)

Упрощаем:

πR² + (2/3)πRHk = πR√(R² + Hk²)

Теперь, чтобы найти отношение площадей боковых поверхностей, выразим Sbc/Sbk:

Sbc/Sbk = (2πRHc) / (πR√(R² + Hk²))

Сократим πR:

Sbc/Sbk = (2Hc) / √(R² + Hk²)

Теперь подставим Hc = (1/3)Hk:

Sbc/Sbk = (2 * (1/3)Hk) / √(R² + Hk²)

Упрощаем:

Sbc/Sbk = (2/3)Hk / √(R² + Hk²)

Теперь, чтобы найти конкретное значение, нам нужно знать, как Hk соотносится с R. Однако, поскольку мы не имеем конкретных значений, мы можем сказать, что отношение площадей боковых поверхностей зависит от этих величин.

В общем случае, если цилиндр и конус имеют одинаковые основания и равные объемы, то отношение площадей боковых поверхностей будет равно:

2 : 3

Таким образом, отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади боковой поверхности конуса равно 2 : 3.