Дам 10 баллов, решите, пожалуйста, срочно! Как можно доказать, что функция f(x) = 3x⁴ - 5x²?

Математика 11 класс Анализ функций доказательство функции функция f(x) 3x⁴ - 5x² математика 11 класс анализ функции свойства функции математический анализ решение задачи график функции исследование функции Новый

Чтобы доказать свойства функции f(x) = 3x⁴ - 5x², мы можем рассмотреть несколько аспектов, таких как нахождение производной, исследование на экстремумы и определение знаков функции. Давайте пройдем через эти шаги.

1. Нахождение производной функции:

Первым шагом мы найдем производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция возрастает и убывает.

• f'(x) = d/dx (3x⁴) - d/dx (5x²)
• f'(x) = 12x³ - 10x

2. Нахождение критических точек:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение f'(x) = 0:

• 12x³ - 10x = 0
• 2x(6x² - 5) = 0

Отсюда мы получаем два случая:

• x = 0
• 6x² - 5 = 0 → x² = 5/6 → x = ±√(5/6)

Таким образом, критические точки: x = 0, x = √(5/6), x = -√(5/6).

3. Исследование знаков производной:

Теперь мы можем исследовать знак производной на интервалах, определяемых критическими точками:

• Интервал (-∞, -√(5/6))
• Интервал (-√(5/6), 0)
• Интервал (0, √(5/6))
• Интервал (√(5/6), ∞)

Подберем тестовые значения для каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -√(5/6)): например, x = -2 → f'(-2) > 0 (функция возрастает)
• Для интервала (-√(5/6), 0): например, x = -0.5 → f'(-0.5) < 0 (функция убывает)
• Для интервала (0, √(5/6)): например, x = 0.5 → f'(0.5) < 0 (функция убывает)
• Для интервала (√(5/6), ∞): например, x = 2 → f'(2) > 0 (функция возрастает)

4. Определение экстремумов:

На основании знаков производной можем сделать выводы:

• На интервале (-∞, -√(5/6)) функция возрастает, на интервале (-√(5/6), 0) - убывает, значит, в точке x = -√(5/6) находится максимум.
• На интервале (0, √(5/6)) функция убывает, а на интервале (√(5/6), ∞) - возрастает, значит, в точке x = √(5/6) находится минимум.

5. Подведение итогов:

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = 3x⁴ - 5x², нашли её производную, критические точки и определили, где функция возрастает и убывает. Это позволяет нам сделать выводы о наличии максимумов и минимумов функции.