Как можно исследовать функцию на экстремум для выражения y=√x/e^x?

Математика 11 класс Анализ функций исследование функции экстремум функции y=√x/e^x анализ функции нахождение экстремума производная функции критические точки поведение функции Новый

Чтобы исследовать функцию y = √x / e^x на экстремум, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определить область определения функции:
   • Функция √x определена при x ≥ 0.
   • Функция e^x определена для всех x.
   • Таким образом, область определения функции y = √x / e^x: x ≥ 0.
2. Найти производную функции:

   Для нахождения экстремумов необходимо найти производную функции y. Мы будем использовать правило деления:

   Если y = u / v, то y' = (u'v - uv') / v².

   • u = √x, тогда u' = 1 / (2√x).
   • v = e^x, тогда v' = e^x.

   Теперь подставим в формулу:

   y' = (1 / (2√x) * e^x - √x * e^x) / (e^x)².

   Упростим производную:

   y' = (e^x / (2√x) - √x) / e^(2x).

   Умножив числитель и знаменатель на 2√x, получим:

   y' = (1 - 2x) / (2√x * e^(2x)).

3. Найти критические точки:

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена.

   Решим уравнение:

   1 - 2x = 0.

   Отсюда x = 1/2.

   Также необходимо проверить, где производная не определена. Производная не определена при x = 0, так как в этом случае у нас будет деление на ноль.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1/2.

4. Исследовать знак производной:

   Теперь мы можем исследовать знак производной на интервалах:

   • Для x < 0 функция не определена.
   • Для 0 < x < 1/2, например, возьмем x = 1/4:

   y' = (1 - 2(1/4)) / (2√(1/4) * e^(2*(1/4))) = (1 - 1/2) / (2*(1/2) * e^(1/2)) = (1/2) / (e^(1/2)) > 0.

   • Для x > 1/2, например, возьмем x = 1:

   y' = (1 - 2(1)) / (2√(1) * e^(2)) = (1 - 2) / (2 * e^2) < 0.

5. Определить характер экстремумов:

   На основании знака производной:

   • При x = 0: производная не определена, но функция стремится к нулю, и мы можем сказать, что это минимум.
   • При x = 1/2: производная меняет знак с положительного на отрицательное, значит, это максимум.
6. Подвести итоги:

   Таким образом, функция y = √x / e^x имеет:

   • Минимум в точке x = 0.
   • Максимум в точке x = 1/2.

Это основные шаги для исследования функции на экстремум. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!