Как можно доказать, что функция косинуса является непрерывной?

Математика 11 класс Анализ функций функция косинуса доказательство непрерывности математический анализ свойства функции непрерывные функции Новый

Чтобы доказать, что функция косинуса является непрерывной, мы можем использовать определение непрерывности функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются следующие три условия:

1. f(x0) определена.
2. lim (x → x0) f(x) существует.
3. lim (x → x0) f(x) = f(x0).

Теперь давайте рассмотрим функцию косинуса, обозначим ее как f(x) = cos(x). Мы будем доказывать непрерывность этой функции в произвольной точке x0.

Шаг 1: Проверка определения функции

Функция cos(x) определена для всех действительных чисел, следовательно, f(x0) = cos(x0) существует.

Шаг 2: Существование предела

Теперь нам нужно показать, что предел функции f(x) при x, стремящемся к x0, существует. Это можно сделать, используя свойства пределов и тригонометрические функции. Мы знаем, что:

lim (x → x0) cos(x) = cos(x0).

Это можно обосновать с помощью теоремы о пределе непрерывных функций и свойств косинуса.

Шаг 3: Сравнение предела с функцией в точке

Теперь мы должны проверить, что:

lim (x → x0) cos(x) = cos(x0).

Согласно свойствам пределов, если x стремится к x0, то cos(x) будет стремиться к cos(x0). Это означает, что:

lim (x → x0) cos(x) = cos(x0).

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы выполнили все три условия определения непрерывности:

• f(x0) определена;
• lim (x → x0) f(x) существует;
• lim (x → x0) f(x) = f(x0).

Следовательно, функция косинуса является непрерывной в любой точке x0. Поскольку x0 было выбрано произвольно, мы можем утверждать, что функция cos(x) является непрерывной на всей числовой прямой.