Прикладная математика. Как найти область определения, чёткость и нечётность функции, асимптоты и производные функции y = x^2 корень из 1 X?

Математика 11 класс Анализ функций прикладная математика 11 класс область определения функции четкость функции нечетность функции Асимптоты функции производные функции y = x^2 корень из 1 X Новый

Давайте разберем вашу функцию y = x^2 * √(1 - x). Мы будем рассматривать каждый аспект по порядку: область определения, четность и нечетность, асимптоты и производные.

1. Область определения

Область определения функции - это множество значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае, у нас есть корень, который требует, чтобы выражение под ним было неотрицательным:

1. 1 - x ≥ 0, что означает, что x ≤ 1.
2. Также x² всегда определено для всех x, так что нам нужно учитывать только ограничение от корня.

Таким образом, область определения функции:

x ∈ (-∞, 1]

2. Четность и нечетность функции

Функция четная, если выполняется условие f(-x) = f(x), и нечетная, если f(-x) = -f(x).

Проверим четность:

1. f(-x) = (-x)² * √(1 - (-x)) = x² * √(1 + x).
2. f(x) = x² * √(1 - x).

Поскольку f(-x) ≠ f(x), функция нечетная. Также f(-x) ≠ -f(x), поэтому функция нечетная.

Функция нечетная.

3. Асимптоты

Асимптоты - это линии, к которым график функции приближается, но не пересекает. Рассмотрим поведение функции при стремлении x к границам области определения:

1. Когда x → 1, √(1 - x) → 0, и y → 0.
2. Когда x → -∞, y = x² * √(1 - x) → ∞, так как x² растет быстрее, чем корень убывает.

Таким образом, у нас нет вертикальных асимптот, но есть горизонтальная асимптота y = 0 при x → 1.

4. Производные функции

Теперь найдем производную функции. Мы используем правило произведения:

1. y = u * v, где u = x² и v = √(1 - x).
2. Производная y' = u'v + uv'.

Теперь найдем производные u и v:

1. u' = 2x.
2. v = (1 - x)^(1/2), v' = (1/2)(1 - x)^(-1/2)(-1) = -1/(2√(1 - x)).

Теперь подставим в формулу производной:

y' = (2x) * √(1 - x) + x² * (-1/(2√(1 - x))).

Это даст нам производную функции в виде:

y' = 2x√(1 - x) - x²/(2√(1 - x)).

Таким образом, мы рассмотрели все аспекты функции y = x^2 * √(1 - x): область определения, четность и нечетность, асимптоты и производные. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!