Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний, а вероятность успеха в каждом испытании постоянна.

В нашей задаче:

• n = 300 (количество испытаний)
• p = 0,25 (вероятность успеха в каждом испытании)
• q = 1 - p = 0,75 (вероятность неуспеха)

Биномиальное распределение описывается формулой:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k!(n-k)!),
• p - вероятность успеха,
• q - вероятность неуспеха,
• n - общее количество испытаний,
• k - количество успехов.

Теперь рассмотрим оба случая:

Для нахождения этой вероятности мы подставим значения в формулу:

• k = 80,
• P(X = 80) = C(300, 80) * (0,25)^80 * (0,75)^(300-80).

Вычисление биномиального коэффициента C(300, 80) может быть затруднительным вручную, поэтому обычно используются калькуляторы или программное обеспечение для статистики.

Здесь мы будем суммировать вероятности для k от 75 до 90:

• P(75 ≤ X ≤ 90) = P(X = 75) + P(X = 76) + ... + P(X = 90).

Каждую из этих вероятностей мы можем вычислить, используя ту же формулу, что и выше. Однако, как и в первом случае, это может быть сложно без калькулятора или программного обеспечения.

Для более точного вычисления вероятностей в таких задачах часто используют нормальное приближение биномиального распределения, так как n велико. В этом случае мы можем использовать следующие параметры:

• Математическое ожидание (mean) = n * p = 300 * 0,25 = 75,
• Дисперсия (variance) = n * p * q = 300 * 0,25 * 0,75 = 56,25.

Согласно центральной предельной теореме, мы можем приближенно считать, что распределение события имеет нормальное распределение с найденными параметрами. Это позволяет нам использовать стандартные таблицы нормального распределения для нахождения вероятностей.

В заключение, для точных значений вероятностей лучше всего использовать статистическое программное обеспечение, однако понимание процесса вычисления и применения нормального приближения может значительно упростить задачу.