У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания по мишени при одном выстреле равна 0.6. Стрельба ведётся до первого попадания. Случайная величина X - это число оставшихся не израсходованных патронов. Каков закон распределения X, а также математическое ожидание и дисперсия этой величины?

Математика 11 класс Вероятностные распределения вероятность попадания случайная величина закон распределения математическое ожидание дисперсия патроны стрелок выстрелы статистика математика Новый

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть случайную величину X, которая представляет собой число оставшихся не израсходованных патронов после первой попытки попасть в мишень. Стрелок имеет 4 патрона, а вероятность попадания по мишени при одном выстреле составляет 0.6.

Стрельба ведётся до первого попадания, что означает, что стрелок будет продолжать стрелять, пока не попадёт в мишень. Вероятности попадания и промаха можно обозначить следующим образом:

• Вероятность попадания (успех): p = 0.6
• Вероятность промаха (неудача): q = 1 - p = 0.4

Случайная величина X может принимать значения от 0 до 3, так как стрелок может попасть в мишень с первым, вторым, третьим или четвёртым выстрелом. Соответственно, мы можем определить закон распределения X:

• X = 0 (попадание с первого выстрела): P(X=0) = p = 0.6
• X = 1 (попадание со второго выстрела): P(X=1) = q * p = 0.4 * 0.6 = 0.24
• X = 2 (попадание с третьего выстрела): P(X=2) = q^2 * p = 0.4^2 * 0.6 = 0.096
• X = 3 (попадание с четвёртого выстрела): P(X=3) = q^3 * p = 0.4^3 * 0.6 = 0.0384

Теперь мы можем составить таблицу распределения вероятностей:

• P(X=0) = 0.6
• P(X=1) = 0.24
• P(X=2) = 0.096
• P(X=3) = 0.0384

Теперь рассчитаем математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X) случайной величины X:

Математическое ожидание E(X) рассчитывается по формуле:

E(X) = Σ [x * P(X=x)]

Подставим значения:

• E(X) = 0 * 0.6 + 1 * 0.24 + 2 * 0.096 + 3 * 0.0384
• E(X) = 0 + 0.24 + 0.192 + 0.1152
• E(X) = 0.5472

Теперь рассчитаем дисперсию D(X), используя формулу:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Сначала находим E(X^2):

• E(X^2) = 0^2 * 0.6 + 1^2 * 0.24 + 2^2 * 0.096 + 3^2 * 0.0384
• E(X^2) = 0 + 0.24 + 0.384 + 0.3456
• E(X^2) = 0.9696

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

• D(X) = 0.9696 - (0.5472)^2
• D(X) = 0.9696 - 0.2995
• D(X) = 0.6701

Таким образом, закон распределения случайной величины X, математическое ожидание и дисперсия имеют следующие значения:

• Закон распределения X:
  • P(X=0) = 0.6
  • P(X=1) = 0.24
  • P(X=2) = 0.096
  • P(X=3) = 0.0384
• Математическое ожидание E(X) = 0.5472
• Дисперсия D(X) = 0.6701