Выполняется залп из пяти орудий по определенному объекту. Вероятность того, что каждое орудие попадет в объект, составляет 0,7. Какова вероятность попадания в объект:

1. Трех орудий
2. Более трех орудий
3. Менее трех орудий

Пожалуйста, подробно объясните решение.

Математика 11 класс Вероятностные распределения вероятность попадания залп из пяти орудий математика 11 класс задача на вероятность три орудия попали более трех орудий менее трех орудий Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (залп из пяти орудий), два возможных исхода (попадание или промах) и известная вероятность успеха (попадание).

Обозначим:

• n = 5 (количество орудий)
• p = 0.7 (вероятность попадания)
• q = 1 - p = 0.3 (вероятность промаха)

Формула для вычисления вероятности того, что k орудий попадут в объект, выглядит так:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь мы можем рассчитать вероятность для каждого случая:

1. Вероятность попадания трех орудий (k = 3):

1. Находим биномиальный коэффициент C(5, 3):
2. C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.
3. Теперь подставим в формулу:
4. P(X = 3) = C(5, 3) * p^3 * q^(5-3) = 10 * (0.7)^3 * (0.3)^2.
5. Считаем: (0.7)^3 = 0.343, (0.3)^2 = 0.09.
6. Теперь подставляем: P(X = 3) = 10 * 0.343 * 0.09 = 0.3087.

2. Вероятность попадания более трех орудий (k > 3):

Это включает случаи, когда 4 или 5 орудий попадают в объект. Мы можем рассчитать это следующим образом:

1. Сначала найдем P(X = 4):
2. C(5, 4) = 5! / (4! * 1!) = 5.
3. P(X = 4) = C(5, 4) * p^4 * q^(5-4) = 5 * (0.7)^4 * (0.3)^1.
4. (0.7)^4 = 0.2401, (0.3)^1 = 0.3.
5. P(X = 4) = 5 * 0.2401 * 0.3 = 0.36015.
6. Теперь найдем P(X = 5):
7. C(5, 5) = 1.
8. P(X = 5) = C(5, 5) * p^5 * q^(5-5) = 1 * (0.7)^5 * (0.3)^0 = 0.16807.
9. Теперь складываем вероятности:
10. P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822.

3. Вероятность попадания менее трех орудий (k < 3):

Это включает случаи, когда 0, 1 или 2 орудия попадают в объект. Мы можем рассчитать это следующим образом:

1. Сначала найдем P(X = 0):
2. C(5, 0) = 1.
3. P(X = 0) = C(5, 0) * p^0 * q^5 = 1 * 1 * (0.3)^5 = 0.00243.
4. Теперь найдем P(X = 1):
5. C(5, 1) = 5.
6. P(X = 1) = C(5, 1) * p^1 * q^4 = 5 * (0.7)^1 * (0.3)^4 = 5 * 0.7 * 0.0081 = 0.02835.
7. Теперь найдем P(X = 2):
8. C(5, 2) = 10.
9. P(X = 2) = C(5, 2) * p^2 * q^3 = 10 * (0.7)^2 * (0.3)^3 = 10 * 0.49 * 0.027 = 0.1323.
10. Теперь складываем вероятности:
11. P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.00243 + 0.02835 + 0.1323 = 0.16308.

Итак, мы получили следующие вероятности:

• Вероятность попадания трех орудий: 0.3087.
• Вероятность попадания более трех орудий: 0.52822.
• Вероятность попадания менее трех орудий: 0.16308.