Каков закон распределения числа попаданий, если стрелок производит три выстрела, а вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет 0,9?

Математика 11 класс Вероятностные распределения закон распределения число попаданий стрелок три выстрела вероятность попадания мишень математика 11 класс биномиальное распределение вероятность статистика Новый

Для решения этой задачи нужно понять, что мы имеем дело с биномиальным распределением. Это распределение описывает число успешных исходов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода – успех или неудача. В нашем случае успех – это попадание в мишень, а неудача – промах.

Давайте разберем шаги решения:

1. Определим параметры биномиального распределения:
   • n = 3 – общее количество выстрелов (испытаний).
   • p = 0,9 – вероятность успеха при каждом выстреле.
2. Формула биномиального распределения:

   Вероятность того, что произойдет ровно k успешных исходов (попаданий) из n испытаний, вычисляется по формуле:

   P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

   где C(n, k) – биномиальный коэффициент, который равен числу сочетаний из n по k и вычисляется как n! / (k! * (n-k)!).

3. Рассчитаем вероятности для всех возможных значений k:
   • k = 0 (ни одного попадания):
   • C(3, 0) = 1 (так как 3! / (0! * 3!) = 1)
   • P(X = 0) = 1 * (0,9)^0 * (0,1)^3 = 0,001
   • k = 1 (одно попадание):
   • C(3, 1) = 3 (так как 3! / (1! * 2!) = 3)
   • P(X = 1) = 3 * (0,9)^1 * (0,1)^2 = 0,027
   • k = 2 (два попадания):
   • C(3, 2) = 3 (так как 3! / (2! * 1!) = 3)
   • P(X = 2) = 3 * (0,9)^2 * (0,1)^1 = 0,243
   • k = 3 (три попадания):
   • C(3, 3) = 1 (так как 3! / (3! * 0!) = 1)
   • P(X = 3) = 1 * (0,9)^3 * (0,1)^0 = 0,729

Таким образом, закон распределения числа попаданий выглядит следующим образом:

• P(X = 0) = 0,001
• P(X = 1) = 0,027
• P(X = 2) = 0,243
• P(X = 3) = 0,729

Эти вероятности показывают, как распределяется количество попаданий при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень составляет 0,9.