В некотором испытании Бернулли вероятность успеха составляет p=0,6. Какова вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха?

Математика 11 класс Вероятностные распределения вероятность успеха испытание Бернулли 3 успеха 5 испытаний математическая вероятность Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления вероятности успеха в серии испытаний Бернулли. В данном случае у нас есть:

• Количество испытаний (n) = 5
• Количество успехов (k) = 3
• Вероятность успеха (p) = 0,6
• Вероятность неуспеха (q) = 1 - p = 0,4

Формула для вычисления вероятности того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь давайте подставим значения в формулу:

1. Сначала найдем биномиальный коэффициент C(5, 3):
• C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!)
• 5! = 120, 3! = 6, 2! = 2
• Таким образом, C(5, 3) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10
2. Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:
• P(X = 3) = C(5, 3) * (0,6)^3 * (0,4)^(5-3)
• P(X = 3) = 10 * (0,6)^3 * (0,4)^2
• (0,6)^3 = 0,216
• (0,4)^2 = 0,16
• Теперь подставляем: P(X = 3) = 10 * 0,216 * 0,16
• P(X = 3) = 10 * 0,03456 = 0,3456

Таким образом, вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха, составляет 0,3456 или 34,56%.