Даны длины диагоналей граней прямоугольного параллелепипеда: 5, 4 и корень из 23. Какова площадь поверхности этого параллелепипеда?

Вариант ответа:

1. 124
2. 102
3. 96
4. 28+16корень из 7
5. 24+14 корень из 7

Математика 11 класс Геометрия площадь поверхности прямоугольный параллелепипед диагонали граней математика 11 класс задачи на площадь решение задач по геометрии Новый

Для решения задачи нам нужно найти длины сторон прямоугольного параллелепипеда, зная длины диагоналей его граней. Обозначим стороны параллелепипеда как a, b и c. Тогда длины диагоналей граней можно выразить следующим образом:

• Диагональ грани с сторонами a и b: d1 = √(a² + b²)
• Диагональ грани с сторонами b и c: d2 = √(b² + c²)
• Диагональ грани с сторонами c и a: d3 = √(c² + a²)

Из условия задачи нам даны длины диагоналей: d1 = 5, d2 = 4, d3 = √23. Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. √(a² + b²) = 5
2. √(b² + c²) = 4
3. √(c² + a²) = √23

Теперь возведем каждое уравнение в квадрат:

1. a² + b² = 25
2. b² + c² = 16
3. c² + a² = 23

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Мы можем выразить одно из переменных через другие. Например, выразим a² через b² и c² из первого уравнения:

1. a² = 25 - b²

Подставим это значение в третье уравнение:

1. c² + (25 - b²) = 23
2. c² - b² = -2
3. c² = b² - 2

Теперь подставим c² в второе уравнение:

1. b² + (b² - 2) = 16
2. 2b² - 2 = 16
3. 2b² = 18
4. b² = 9
5. b = 3

Теперь, зная b, мы можем найти c:

1. c² = 9 - 2 = 7
2. c = √7

Теперь подставим b в первое уравнение, чтобы найти a:

1. a² + 9 = 25
2. a² = 16
3. a = 4

Таким образом, мы получили длины сторон параллелепипеда:

• a = 4
• b = 3
• c = √7

Теперь можем найти площадь поверхности параллелепипеда по формуле:

Площадь поверхности = 2(ab + ac + bc)

Подставим найденные значения:

1. ab = 4 * 3 = 12
2. ac = 4 * √7 = 4√7
3. bc = 3 * √7 = 3√7

Теперь подставим эти значения в формулу:

Площадь поверхности = 2(12 + 4√7 + 3√7) = 2(12 + 7√7) = 24 + 14√7

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 24 + 14√7.

Ответ: 24 + 14√7