Для исследования функции y = 1/4 * x^4 - 8 * x^2 на экстремумы с помощью первой производной, следуем следующим шагам:

1. Найдем первую производную функции.

Для этого применим правило дифференцирования:

• Производная от x^n равна n * x^(n-1).

Теперь находим производную:

• y' = d/dx (1/4 * x^4) - d/dx (8 * x^2).
• y' = 1/4 * 4 * x^3 - 8 * 2 * x.
• y' = x^3 - 16 * x.

2. Приравняем первую производную к нулю для нахождения критических точек.

Решим уравнение:

• x^3 - 16 * x = 0.

Факторизуем:

• x(x^2 - 16) = 0.

Теперь находим корни:

• x = 0,
• x^2 - 16 = 0, что дает x = ±4.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 4, x = -4.

3. Исследуем знак первой производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую ось на следующие интервалы:

• (-∞, -4),
• (-4, 0),
• (0, 4),
• (4, ∞).

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в первую производную:

• Для интервала (-∞, -4), например, x = -5:
• y'(-5) = (-5)^3 - 16 * (-5) = -125 + 80 = -45 (меньше 0).
• Для интервала (-4, 0), например, x = -2:
• y'(-2) = (-2)^3 - 16 * (-2) = -8 + 32 = 24 (больше 0).
• Для интервала (0, 4), например, x = 2:
• y'(2) = (2)^3 - 16 * (2) = 8 - 32 = -24 (меньше 0).
• Для интервала (4, ∞), например, x = 5:
• y'(5) = (5)^3 - 16 * (5) = 125 - 80 = 45 (больше 0).

4. Сделаем выводы о экстремумах.

Теперь проанализируем изменения знака первой производной:

• На интервале (-∞, -4) производная отрицательна, на интервале (-4, 0) - положительна. Это значит, что в точке x = -4 у нас минимум.
• На интервале (-4, 0) производная положительна, а на интервале (0, 4) - отрицательна. Это значит, что в точке x = 0 у нас максимум.
• На интервале (0, 4) производная отрицательна, а на интервале (4, ∞) - положительна. Это значит, что в точке x = 4 у нас минимум.

Итак, мы нашли экстремумы:

• Минимум в точке x = -4,
• Максимум в точке x = 0,
• Минимум в точке x = 4.

Таким образом, мы исследовали функцию y = 1/4 * x^4 - 8 * x^2 на экстремумы с помощью первой производной.