Как вычислить экстремумы функции

y=х⁴-4х³+4х²?

Математика 11 класс Экстремумы функций вычислить экстремумы функция y=х⁴-4х³+4х² математика анализ функции Новый

Для нахождения экстремумов функции y = x⁴ - 4x³ + 4x², нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Сначала мы находим первую производную функции y по переменной x. Используем правило дифференцирования:

   y' = d(y)/d(x) = 4x³ - 12x² + 8x.

2. Приравнять производную к нулю.

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

   4x³ - 12x² + 8x = 0.

3. Решить уравнение.

   Выносим общий множитель:

   4x(x² - 3x + 2) = 0.

   Теперь у нас есть два множителя. Сначала решим 4x = 0, что дает x = 0.

   Теперь решим квадратное уравнение x² - 3x + 2 = 0. Мы можем разложить его на множители:

   (x - 1)(x - 2) = 0, что дает корни x = 1 и x = 2.

4. Найти вторую производную.

   Теперь найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремумов:

   y'' = d²(y)/d(x)² = 12x² - 24x + 8.

5. Определить тип экстремумов.

   Подставим найденные критические точки (x = 0, x = 1, x = 2) во вторую производную:

   • Для x = 0: y''(0) = 12(0)² - 24(0) + 8 = 8 (больше нуля, значит, минимум).
   • Для x = 1: y''(1) = 12(1)² - 24(1) + 8 = -4 (меньше нуля, значит, максимум).
   • Для x = 2: y''(2) = 12(2)² - 24(2) + 8 = 8 (больше нуля, значит, минимум).
6. Записать результаты.

   Мы нашли следующие экстремумы:

   • Минимум в точке x = 0 и x = 2.
   • Максимум в точке x = 1.

Таким образом, мы вычислили экстремумы функции y = x⁴ - 4x³ + 4x² и определили их типы. Если вам нужны дополнительные пояснения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!