Помогите определить точки экстремума функции y=3x⁴-6x³-1.

Математика 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции точки экстремума производная функции нахождение экстремумов анализ функции Новый

Чтобы определить точки экстремума функции y = 3x⁴ - 6x³ - 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Производная функции y по x обозначается как y'. Мы найдем первую производную:

   y' = d(3x⁴ - 6x³ - 1)/dx = 12x³ - 18x².

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем первую производную к нулю:

   12x³ - 18x² = 0.

   Теперь выделим общий множитель:

   6x²(2x - 3) = 0.

   Это уравнение равно нулю, если:

   • 6x² = 0, что дает x = 0;
   • 2x - 3 = 0, что дает x = 3/2.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 3/2.

3. Определить тип экстремума.

   Для этого мы можем использовать вторую производную функции. Найдем вторую производную:

   y'' = d(12x³ - 18x²)/dx = 36x² - 36.

   Теперь подставим критические точки в вторую производную:

   • Для x = 0: y''(0) = 36(0)² - 36 = -36 (меньше нуля, значит, в этой точке максимум);
   • Для x = 3/2: y''(3/2) = 36(3/2)² - 36 = 36(9/4) - 36 = 81 - 36 = 45 (больше нуля, значит, в этой точке минимум).
4. Записать результаты.

   Таким образом, мы определили:

   • Точка x = 0 - это максимум;
   • Точка x = 3/2 - это минимум.

Теперь вы знаете, как находить точки экстремума функции! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.