Как найти экстремумы следующих функций?

1. y = x⁴ - 4x³ + 4x²
2. y = x³ - 21/2 x² + 30x + 15
3. y = x³ + 3x² + 1

Математика 11 класс Экстремумы функций экстремумы функций нахождение экстремумов математика анализ функций производная функции Новый

Чтобы найти экстремумы функций, необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает максимумов или минимумов. Основным методом нахождения экстремумов является использование производной функции. Давайте рассмотрим, как это сделать на примере ваших функций.

Шаги для нахождения экстремумов:

1. Найдите производную функции. Это необходимо для определения изменений функции.
2. Приравняйте производную к нулю. Это позволит найти критические точки, где функция может иметь экстремумы.
3. Определите, являются ли найденные критические точки максимумами или минимумами. Это можно сделать с помощью второй производной или теста знаков первой производной.

Теперь давайте применим эти шаги к вашим функциям.

1. Функция: y = x⁴ - 4x³ + 4x²

• Найдите производную:
• y' = 4x³ - 12x² + 8x
• Приравняйте производную к нулю:
• 4x³ - 12x² + 8x = 0
• 4x(x² - 3x + 2) = 0
• Решаем: x = 0, x = 1, x = 2
• Определите, являются ли эти точки экстремумами:
• Найдите вторую производную: y'' = 12x² - 24x + 8
• Подставьте найденные значения x в y'':
• y''(0) = 8 > 0 (минимум)
• y''(1) = -4 < 0 (максимум)
• y''(2) = 8 > 0 (минимум)
• Таким образом, у нас есть минимум в x = 0, максимум в x = 1 и минимум в x = 2.

2. Функция: y = x³ - 21/2 x² + 30x + 15

• Найдите производную:
• y' = 3x² - 21x + 30
• Приравняйте производную к нулю:
• 3x² - 21x + 30 = 0
• Решаем: x² - 7x + 10 = 0
• Получаем: x = 2, x = 5
• Определите, являются ли эти точки экстремумами:
• y'' = 6x - 21
• y''(2) = -9 < 0 (максимум)
• y''(5) = 9 > 0 (минимум)
• Таким образом, максимум в x = 2 и минимум в x = 5.

3. Функция: y = x³ + 3x² + 1

• Найдите производную:
• y' = 3x² + 6x
• Приравняйте производную к нулю:
• 3x(x + 2) = 0
• Решаем: x = 0, x = -2
• Определите, являются ли эти точки экстремумами:
• y'' = 6x + 6
• y''(0) = 6 > 0 (минимум)
• y''(-2) = 0 (неопределенность, нужно использовать тест знаков)
• Тест знаков показывает, что в x = -2 у нас максимум.

Таким образом, мы нашли экстремумы для всех трех функций. Важно помнить, что нахождение экстремумов — это процесс, требующий внимательности и точности. Удачи в учебе!