Чтобы найти количество точек экстремума функции y = 3x^5 - 15x^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим процесс более подробно.

1. Найдем производную функции:

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования. Производная функции y = 3x^5 - 15x^2 будет:

• y' = 15x^4 - 30x.
2. Приравняем производную к нулю:

Теперь мы должны решить уравнение:

• 15x^4 - 30x = 0.
3. Вынесем общий множитель:

В данном уравнении можно вынести 15x:

• 15x(x^3 - 2) = 0.
4. Найдем корни уравнения:

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

• 15x = 0, что дает x = 0.
• x^3 - 2 = 0, что дает x^3 = 2, а следовательно, x = корень из 2 (или x = 2^(1/3)).
5. Подсчитаем количество корней:

Таким образом, у нас есть два корня:

• x = 0,
• x = 2^(1/3).

Теперь мы можем сказать, что функция имеет два критических точки. Чтобы определить, являются ли эти точки точками экстремума, мы можем использовать второй производный тест или просто проверить значения производной вокруг найденных точек.

Таким образом, функция y = 3x^5 - 15x^2 имеет две точки экстремума.