Исследуйте, сколько общих точек в зависимости от параметра p имеет парабола y = 2x^2 − x + 3 и прямая y = −(p + 1)x + 2.

Математика 11 класс Геометрия парабола прямая общие точки зависимость от параметра математика y = 2x^2 − x + 3 y = −(p + 1)x + 2 исследование графики уравнения Новый

Для того чтобы определить количество общих точек между параболой и прямой, необходимо решить систему уравнений, приравняв их правые части. Мы имеем параболу:

y = 2x^2 − x + 3

и прямую:

y = −(p + 1)x + 2

Приравняем правые части этих уравнений:

2x^2 − x + 3 = −(p + 1)x + 2

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2x^2 − x + (p + 1)x + 3 - 2 = 0

Упростим уравнение:

2x^2 + (p + 1 - 1)x + 1 = 0

Это уравнение можно записать в следующем виде:

2x^2 + px + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, и для того чтобы определить количество его корней, нам нужно использовать дискриминант. Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

• a = 2
• b = p
• c = 1

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = p^2 - 4 * 2 * 1

Упростим:

D = p^2 - 8

Теперь мы можем исследовать количество корней в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет 2 различных корня, что означает, что прямая и парабола имеют 2 общие точки.
2. Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень, что означает, что прямая и парабола касаются в одной точке.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, что означает, что прямая и парабола не пересекаются.

Теперь найдем значения p, при которых меняется количество общих точек:

• Для D > 0: p^2 - 8 > 0, что дает p^2 > 8. Это означает, что p > √8 или p < -√8.
• Для D = 0: p^2 - 8 = 0, что дает p = ±√8.
• Для D < 0: p^2 - 8 < 0, что дает -√8 < p < √8.

Таким образом, в зависимости от значения параметра p, мы можем сделать следующие выводы:

• При p < -√8 и p > √8: 2 общие точки.
• При p = -√8 или p = √8: 1 общая точка (касание).
• При -√8 < p < √8: 0 общих точек (нет пересечения).