Как исследовать функцию на экстремум: y = x/5 + 5/x и какие шаги необходимо выполнить для этого? За выполнение задания можно получить 50 баллов.

Математика 11 класс Экстремумы функций исследование функции экстремум функции y = x/5 + 5/x шаги для исследования функции математический анализ нахождение экстремумов производная функции критические точки анализ поведения функции оптимизация функции Новый

Чтобы исследовать функцию y = x/5 + 5/x на экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции:
   • Функция y = x/5 + 5/x определена для всех x, кроме x = 0, так как при x = 0 происходит деление на ноль. Таким образом, область определения: x ∈ R, x ≠ 0.
2. Нахождение производной:
   • Для нахождения экстремумов функции, нужно найти ее производную. Вычислим производную y:
   • y' = d/dx (x/5) + d/dx (5/x) = 1/5 - 5/x².
3. Нахождение критических точек:
   • Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:
   • 1/5 - 5/x² = 0.
   • Решим это уравнение:
   • 1/5 = 5/x² → x² = 25 → x = ±5.
   • Таким образом, критические точки: x = 5 и x = -5.
4. Анализ знака производной:
   • Теперь необходимо определить, в каких интервалах производная положительна, а в каких отрицательна. Для этого рассмотрим промежутки:
   • 1. (-∞, -5)
   • 2. (-5, 0)
   • 3. (0, 5)
   • 4. (5, +∞)
   • Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в производную:
   • Для интервала (-∞, -5): например, x = -6 → y' = 1/5 - 5/36 < 0 (производная отрицательна).
   • Для интервала (-5, 0): например, x = -1 → y' = 1/5 - 5 < 0 (производная отрицательна).
   • Для интервала (0, 5): например, x = 1 → y' = 1/5 - 5 > 0 (производная положительна).
   • Для интервала (5, +∞): например, x = 6 → y' = 1/5 - 5/36 > 0 (производная положительна).
   • Таким образом, мы видим, что производная меняет знак в точках x = -5 и x = 5.
5. Определение типа экстремумов:
   • На основании изменений знака производной можно сделать вывод:
   • В точке x = -5 производная меняет знак с отрицательного на отрицательный, значит, здесь нет экстремума.
   • В точке x = 5 производная меняет знак с положительного на положительный, значит, здесь также нет экстремума.
6. Исследование на границах области определения:
   • Необходимо также изучить поведение функции при x стремящемся к 0 и x стремящемся к бесконечности:
   • При x → 0: y → ∞.
   • При x → ±∞: y → ∞.

Таким образом, функция y = x/5 + 5/x не имеет экстремумов, но имеет асимптоты при x = 0 и стремится к бесконечности при подходе к нулю и бесконечности.