Как можно доказать, что 8 2024 - 7 2024 делится на 5, а 8 2024 - 6 2024 делится на 10, так же как и 9 9 2024 - 7 2024 делится на 10?

Математика 11 класс Делимость чисел доказательство делимости делимость на 5 делимость на 10 математика 11 класс свойства чисел алгебра задачи на делимость Новый

Давайте разберемся, как доказать делимость выражений, используя свойства арифметики и теоремы о делимости.

1. Докажем, что 8²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ делится на 5:

1. Используем малую теорему Ферма, которая говорит, что для любого числа a, не делящегося на простое число p, выполняется равенство a^p-1 ≡ 1 (mod p).
2. Применим теорему для модуля 5. Числа 8 и 7 не делятся на 5, поэтому:
• 8⁴ ≡ 1 (mod 5), значит 8²⁰²⁴ = (8⁴)⁵⁰⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ ≡ 1 (mod 5).
• 7⁴ ≡ 1 (mod 5), значит 7²⁰²⁴ = (7⁴)⁵⁰⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ ≡ 1 (mod 5).
3. Из этого следует, что 8²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5), значит, разность делится на 5.

2. Докажем, что 8²⁰²⁴ - 6²⁰²⁴ делится на 10:

1. Число делится на 10, если оно делится на 2 и на 5. Проверим делимость на 2 и 5 отдельно.
2. Для делимости на 2:
• 8 ≡ 0 (mod 2), значит 8²⁰²⁴ ≡ 0 (mod 2).
• 6 ≡ 0 (mod 2), значит 6²⁰²⁴ ≡ 0 (mod 2).
• Таким образом, 8²⁰²⁴ - 6²⁰²⁴ ≡ 0 - 0 ≡ 0 (mod 2).
3. Для делимости на 5, используем предыдущий вывод:
• 8²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 5) и 6²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 5), значит 8²⁰²⁴ - 6²⁰²⁴ ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5).
4. Так как выражение делится и на 2, и на 5, то оно делится на 10.

3. Докажем, что 9²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ делится на 10:

1. Аналогично, проверим делимость на 2 и на 5.
2. Для делимости на 2:
• 9 ≡ 1 (mod 2), значит 9²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 2).
• 7 ≡ 1 (mod 2), значит 7²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 2).
• Таким образом, 9²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 2).
3. Для делимости на 5, используем малую теорему Ферма:
• 9 ≡ 4 (mod 5), значит 9⁴ ≡ 1 (mod 5), и 9²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 5).
• 7²⁰²⁴ ≡ 1 (mod 5) (из предыдущего вывода).
• Таким образом, 9²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5).
4. Так как выражение делится и на 2, и на 5, то оно делится на 10.

Вывод:

• 8²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ делится на 5.
• 8²⁰²⁴ - 6²⁰²⁴ делится на 10.
• 9²⁰²⁴ - 7²⁰²⁴ делится на 10.