Как можно доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, если его вершины имеют координаты A(-3; 5; 6), B(1; -5; 7), C(8; -3; -1) и D(4; 7; -2)?

Математика 11 класс Геометрия доказательство квадрата координаты четырехугольника свойства квадрата геометрия математика четырехугольник ABCD Новый

Давайте вместе разберемся, как можно доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом! Это захватывающее путешествие в мир геометрии и координатного пространства!

Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Проверка длин сторон: Нам нужно вычислить длины всех четырех сторон AB, BC, CD и DA. Если все стороны равны, это уже хороший знак!
2. Проверка диагоналей: Вычислим длины диагоналей AC и BD. Если диагонали равны, это также подтверждает, что ABCD - квадрат!
3. Проверка углов: Углы квадрата равны 90 градусам. Мы можем проверить, являются ли углы между смежными сторонами прямыми, используя скалярное произведение векторов.

Теперь давайте начнем с вычислений!

1. Вычисление длин сторон:

• Длина AB = √((1 - (-3))² + (-5 - 5)² + (7 - 6)²) = √((4)² + (-10)² + (1)²) = √(16 + 100 + 1) = √117
• Длина BC = √((8 - 1)² + (-3 - (-5))² + (-1 - 7)²) = √((7)² + (2)² + (-8)²) = √(49 + 4 + 64) = √117
• Длина CD = √((4 - 8)² + (7 - (-3))² + (-2 - (-1))²) = √((-4)² + (10)² + (-1)²) = √(16 + 100 + 1) = √117
• Длина DA = √((-3 - 4)² + (5 - 7)² + (6 - (-2))²) = √((-7)² + (-2)² + (8)²) = √(49 + 4 + 64) = √117

Мы видим, что все стороны равны: AB = BC = CD = DA = √117! Это уже очень обнадеживающий знак!

2. Вычисление длин диагоналей:

• Длина AC = √((8 - (-3))² + (-3 - 5)² + (-1 - 6)²) = √((11)² + (-8)² + (-7)²) = √(121 + 64 + 49) = √234
• Длина BD = √((4 - 1)² + (7 - (-5))² + (-2 - 7)²) = √((3)² + (12)² + (-9)²) = √(9 + 144 + 81) = √234

И здесь мы видим, что диагонали равны: AC = BD = √234! Это еще одно подтверждение!

3. Проверка углов:

Теперь давайте проверим, являются ли углы прямыми. Для этого мы найдем векторы:

• AB = B - A = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1)
• BC = C - B = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8)

Теперь находим скалярное произведение векторов AB и BC:

AB • BC = 4*7 + (-10)*2 + 1*(-8) = 28 - 20 - 8 = 0. Это значит, что угол между AB и BC - прямой!

Аналогично можно проверить углы между другими парами векторов. Если все углы равны 90 градусам, мы можем с уверенностью сказать, что ABCD - квадрат!

Таким образом, если все стороны равны, диагонали равны и углы прямые, то четырехугольник ABCD действительно является квадратом! Как здорово!