Как можно доказать, что в четырёхугольнике ABCD с равными сторонами AB и BC, а также равными углами BAD и ABC, длина отрезка DK равна длине отрезка AC, если на продолжении стороны BC за точкой B взята точка E, такая что CE = AD, и точка K является симметричной точке E относительно стороны AB?

Математика 11 класс Геометрия доказательство четырёхугольник равные стороны равные углы длина отрезка Симметрия геометрия математика 11 класс Новый

Давайте разберем данное утверждение шаг за шагом и постараемся доказать его.

1. Условия задачи:

• Четырехугольник ABCD с равными сторонами AB = BC и углами ∠BAD = ∠ABC.
• На продолжении стороны BC за точкой B взята точка E так, что CE = AD.
• Точка K является симметричной точке E относительно стороны AB.

2. Построение:

• Начнем с построения четырехугольника ABCD, где AB = BC.
• Поскольку углы BAD и ABC равны, мы можем сказать, что треугольник ABD равнобедренный.
• Теперь отметим точку E на продолжении BC так, что CE = AD.
• Проведем симметрию точки E относительно стороны AB, получим точку K.

3. Связь между сторонами и углами:

• Поскольку AB = BC и ∠BAD = ∠ABC, то треугольник ABC также является равнобедренным.
• Из этого следует, что AC является биссектрисой угла ABC.

4. Доказательство равенства DK и AC:

• Поскольку K является симметричной точкой E относительно AB, то отрезок AK равен отрезку AE.
• Также, по свойствам симметрии, угол ∠BAK равен углу ∠BAE.
• Таким образом, треугольники AEK и ABC имеют равные стороны и углы:
• AE = AC (по построению)
• AK = AE (по симметрии)
• ∠BAK = ∠BAE (по симметрии)
• Следовательно, треугольники AEK и ABC подобны.
• Из подобия треугольников следует, что DK = AC, так как соответствующие стороны равны.

5. Вывод:

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка DK равна длине отрезка AC. Это подтверждает, что конструкция и условия задачи верны, и мы можем считать утверждение доказанным.