Как можно доказать лемму a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2?

Математика 11 класс Неравенства лемма доказательство неравенство математика 11 класс a/(b+c) b/(a+c) c/(a+b) 3/2 математический анализ Новый

Чтобы доказать лемму a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2, мы можем использовать метод неравенства Коши-Буняковского. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам это сделать.

1. Применим неравенство Коши-Буняковского: Мы можем записать неравенство в следующем виде:

   (a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)) * ((b+c) + (a+c) + (a+b)) >= (a + b + c)^2.

   Здесь мы умножаем обе части на сумму (b+c) + (a+c) + (a+b), которая всегда положительна, поэтому знак неравенства сохраняется.
2. Упростим сумму:

   ((b+c) + (a+c) + (a+b)) = 2(a + b + c).

   Таким образом, мы можем переписать неравенство:

   (a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)) * 2(a + b + c) >= (a + b + c)^2.

   После деления обеих сторон на 2(a + b + c) (при условии, что a + b + c > 0), мы получаем:

   a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= (a + b + c)/(2(a + b + c)).

   Это упрощается до:

   a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2.

   Это и есть то, что мы хотели доказать.

Таким образом, мы пришли к нужному неравенству. Это означает, что лемма a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 верна для любых положительных a, b и c.