Давайте докажем тождество A∪B=A∪(B∖A) с использованием отношений принадлежности. Мы будем использовать метод доказательства через элементарные свойства множеств и их элементов.

Для начала, вспомним, что означает каждая часть этого тождества:

• A∪B - это объединение множеств A и B, то есть множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
• B∖A - это разность множеств B и A, то есть множество всех элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A.
• A∪(B∖A) - это объединение множества A с множеством B∖A.

Теперь мы будем доказывать, что каждое множество является подмножеством другого, то есть:

1. Покажем, что A∪B ⊆ A∪(B∖A).
2. Покажем, что A∪(B∖A) ⊆ A∪B.

Шаг 1: Доказательство A∪B ⊆ A∪(B∖A)

Возьмем произвольный элемент x, который принадлежит A∪B. Это означает, что x принадлежит либо A, либо B (или тому и другому).

• Если x ∈ A, то, по определению объединения, x также принадлежит A∪(B∖A).
• Если x ∈ B, то нам нужно проверить, принадлежит ли он A. Если x не принадлежит A, то x принадлежит B∖A, и, следовательно, x ∈ A∪(B∖A).

Таким образом, в любом случае x принадлежит A∪(B∖A). Мы доказали, что A∪B ⊆ A∪(B∖A).

Шаг 2: Доказательство A∪(B∖A) ⊆ A∪B

Теперь возьмем произвольный элемент y, который принадлежит A∪(B∖A). Это означает, что y принадлежит либо A, либо B∖A.

• Если y ∈ A, то, по определению объединения, y также принадлежит A∪B.
• Если y ∈ (B∖A), то это значит, что y принадлежит B и не принадлежит A. Таким образом, y также принадлежит A∪B.

Следовательно, в любом случае y принадлежит A∪B. Мы доказали, что A∪(B∖A) ⊆ A∪B.

Таким образом, мы показали, что A∪B ⊆ A∪(B∖A) и A∪(B∖A) ⊆ A∪B. Это означает, что A∪B = A∪(B∖A).

Заключение: Мы доказали тождество A∪B=A∪(B∖A) с использованием отношений принадлежности, что завершает наше доказательство.