Опрос 100 студентов показал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Вопросы:

1. Сколько студентов не изучает ни одного языка?
2. Сколько студентов изучает только французский язык?
3. Сколько студентов изучает немецкий язык, если они изучают французский язык?

Математика 11 класс Теория множеств математика 11 класс опрос студентов иностранные языки количество студентов изучение языков статистика студентов задачи по математике комбинаторика теория множеств анализ данных Новый

Для решения данной задачи мы воспользуемся принципом включения-исключения. Сначала определим количество студентов, изучающих каждый язык и их пересечения.

Данные:

• Количество студентов, изучающих испанский язык (A) = 28
• Количество студентов, изучающих немецкий язык (B) = 30
• Количество студентов, изучающих французский язык (C) = 42
• Количество студентов, изучающих испанский и немецкий языки (A ∩ B) = 8
• Количество студентов, изучающих испанский и французский языки (A ∩ C) = 10
• Количество студентов, изучающих немецкий и французский языки (B ∩ C) = 5
• Количество студентов, изучающих все три языка (A ∩ B ∩ C) = 3

1. Сколько студентов не изучает ни одного языка?

Сначала найдем общее количество студентов, изучающих хотя бы один язык. Для этого воспользуемся формулой:

N(A ∪ B ∪ C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A ∩ B) - N(A ∩ C) - N(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C)

Подставим известные значения:

• N(A ∪ B ∪ C) = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3
• N(A ∪ B ∪ C) = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80

Теперь, чтобы найти количество студентов, не изучающих ни одного языка, вычтем из общего количества студентов (100) количество студентов, изучающих хотя бы один язык:

• Количество студентов, не изучающих ни одного языка = 100 - N(A ∪ B ∪ C) = 100 - 80 = 20

Ответ: 20 студентов не изучает ни одного языка.

2. Сколько студентов изучает только французский язык?

Чтобы найти количество студентов, изучающих только французский язык, нам нужно вычесть из общего количества студентов, изучающих французский язык, количество студентов, изучающих французский язык вместе с другими языками.

Количество студентов, изучающих только французский язык = N(C) - (N(A ∩ C) + N(B ∩ C) - N(A ∩ B ∩ C))

Подставляем значения:

• Количество студентов, изучающих только французский язык = 42 - (10 + 5 - 3)
• Количество студентов, изучающих только французский язык = 42 - 12 = 30

Ответ: 30 студентов изучает только французский язык.

3. Сколько студентов изучает немецкий язык, если они изучают французский язык?

Мы ищем количество студентов, изучающих немецкий язык при условии, что они изучают французский язык. Это можно выразить через количество студентов, изучающих немецкий и французский языки, и количество студентов, изучающих только французский язык.

Количество студентов, изучающих немецкий язык и французский язык (B ∩ C) = 5. Однако нам нужно учесть также тех, кто изучает все три языка (A ∩ B ∩ C) = 3.

Таким образом, количество студентов, изучающих только немецкий и французский языки = N(B ∩ C) - N(A ∩ B ∩ C) = 5 - 3 = 2.

Теперь добавим тех, кто изучает все три языка:

• Количество студентов, изучающих немецкий язык, если они изучают французский язык = 2 + 3 = 5.

Ответ: 5 студентов изучает немецкий язык, если они изучают французский язык.