На олимпиаде по математике для абитуриентов участвовали 40 учащихся. Им предложили решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре задачу решили 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии задачу решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек, по геометрии и тригонометрии – 8 человек. 3 человека не решили ни одной задачи. Сколько учащихся решили все задачи?

Математика 11 класс Теория множеств математика олимпиада абитуриенты задачи алгебра геометрия Тригонометрия решение задач количество учащихся пересечение множеств Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать принцип включения-исключения. Давайте обозначим:

• A - множество учащихся, решивших задачу по алгебре.
• B - множество учащихся, решивших задачу по геометрии.
• C - множество учащихся, решивших задачу по тригонометрии.

Из условия задачи мы знаем следующие данные:

• |A| = 20 (по алгебре)
• |B| = 18 (по геометрии)
• |C| = 18 (по тригонометрии)
• |A ∩ B| = 7 (по алгебре и геометрии)
• |A ∩ C| = 9 (по алгебре и тригонометрии)
• |B ∩ C| = 8 (по геометрии и тригонометрии)
• 3 человека не решили ни одной задачи, значит, 40 - 3 = 37 человек решили хотя бы одну задачу.

Теперь обозначим количество учащихся, которые решили все три задачи, как x. Мы можем записать уравнение для количества учащихся, которые решили хотя бы одну задачу:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Подставим известные значения в это уравнение:

37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + x.

Теперь упростим это уравнение:

1. Сложим числа: 20 + 18 + 18 = 56.
2. Вычтем: 56 - 7 - 9 - 8 = 32.

Таким образом, у нас получается:

37 = 32 + x.

Теперь решим это уравнение для x:

x = 37 - 32 = 5.

Таким образом, 5 учащихся решили все задачи.