Чтобы определить промежутки, на которых функция f(x) = 5/x + 3 возрастает или убывает, нам нужно выполнить несколько шагов. Основная идея заключается в нахождении производной функции и анализе ее знаков.

1. Найдем производную функции f(x).

   Функция f(x) может быть записана как сумма двух частей: 5/x и 3. Поскольку производная константы равна нулю, мы сосредоточимся на производной первой части.

   Используя правило производной для дробной функции, мы получаем:

   f'(x) = -5/x².

2. Определим, где производная равна нулю или не определена.

   Производная f'(x) = -5/x² никогда не равна нулю, так как числитель (-5) всегда отрицателен. Однако, она не определена при x = 0, так как в этом случае мы делим на ноль.

3. Анализируем знак производной.

   Теперь мы можем проанализировать знак производной на интервалах, определенных точкой x = 0:

   • Для x < 0 (например, x = -1):

   f'(-1) = -5/(-1)² = -5, что меньше 0. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞, 0).

   • Для x > 0 (например, x = 1):

   f'(1) = -5/(1)² = -5, что также меньше 0. Это означает, что функция убывает на интервале (0, +∞).

4. Вывод.

   Функция f(x) = 5/x + 3 убывает на обоих интервалах: (-∞, 0) и (0, +∞). Таким образом, функция не имеет промежутков, где она возрастает.

Если у вас остались вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!