Как можно найти решение уравнения 5 * 5 ^ (2x) - 6 * 5 ^ x + 1 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения уравнение 5 * 5^(2x) математика 11 класс методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 5 * 5^(2x) - 6 * 5^x + 1 = 0, начнем с упрощения уравнения. Заметим, что 5^(2x) можно представить как (5^x)^2. Это позволяет нам сделать замену переменной:

• Обозначим y = 5^x.

Теперь уравнение можно переписать в терминах переменной y:

• 5 * (y^2) - 6 * y + 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

• 5y^2 - 6y + 1 = 0.

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 5, b = -6, c = 1.
• Подставим значения: D = (-6)^2 - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16.

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения:

• y1,2 = (-b ± √D) / (2a).
• Подставим значения: y1,2 = (6 ± √16) / (2 * 5) = (6 ± 4) / 10.

Теперь найдем два корня:

• y1 = (6 + 4) / 10 = 10 / 10 = 1.
• y2 = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 0.2.

Теперь вернемся к нашей замене переменной y = 5^x и найдем значения x:

• Для первого корня: 5^x = 1. Это означает, что x = 0, так как 5^0 = 1.
• Для второго корня: 5^x = 0.2. Чтобы найти x, можно записать это как 5^x = 1/5, что дает x = -1, так как 5^(-1) = 1/5.

Таким образом, мы нашли два решения уравнения:

• x = 0
• x = -1

Ответ: x = 0 и x = -1.