Здравствуйте. Можете помочь решить уравнение: 9^(x-5) - 3^(x-5) = 3^(x+3) - 3^8?

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнение решение уравнения математика 11 класс экспоненциальные уравнения алгебра математические задачи 9 в степени 3 в степени равенство логарифмы Новый

Здравствуйте! Конечно, давайте решим уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

9^(x-5) - 3^(x-5) = 3^(x+3) - 3^8.

Первое, что мы можем сделать, это выразить 9 в виде степени 3. Мы знаем, что 9 = 3^2, следовательно, 9^(x-5) можно переписать как (3^2)^(x-5). Используя свойства степеней, это будет равно 3^(2(x-5)) = 3^(2x - 10).

Теперь перепишем уравнение с учетом этого преобразования:

3^(2x - 10) - 3^(x - 5) = 3^(x + 3) - 3^8.

Теперь у нас есть:

3^(2x - 10) - 3^(x - 5) = 3^(x + 3) - 3^8.

Давайте упростим левую часть уравнения, где у нас есть 3^(2x - 10) и 3^(x - 5). Мы можем выразить 3^(x - 5) как 3^(x - 5) = 3^(x - 5) 1 = 3^(x - 5) 3^(0).

Теперь мы можем переписать это уравнение:

3^(2x - 10) - 3^(x - 5) = 3^(x + 3) - 3^8.

Теперь мы можем сделать замену: пусть y = 3^(x - 5). Тогда 3^(2x - 10) = (3^(x - 5))^2 = y^2, и 3^(x + 3) = 3^(x - 5 + 8) = 3^8 * y = 6561y (так как 3^8 = 6561).

Теперь уравнение принимает вид:

y^2 - y = 6561y - 6561.

Переносим все на одну сторону:

y^2 - 6561y + y + 6561 = 0,

что упрощается до:

y^2 - 6560y + 6561 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac = (-6560)^2 - 4 1 6561.

Теперь считаем:

D = 43033600 - 26244 = 43007356.

Теперь находим корни уравнения:

y = (6560 ± √D) / 2.

Сначала найдем √D:

√D ≈ 6560.

Теперь подставим это значение:

y1 = (6560 + 6560) / 2 = 6560, y2 = (6560 - 6560) / 2 = 0.

Так как y = 3^(x - 5), и y не может быть отрицательным или равным нулю, оставляем только y = 6560.

Теперь вернемся к y:

3^(x - 5) = 6561.

Теперь выразим x:

x - 5 = log3(6561).

Мы знаем, что 6561 = 3^8, следовательно:

x - 5 = 8.

Теперь решим для x:

x = 8 + 5 = 13.

Таким образом, ответ:

x = 13.