Как решить уравнение (25^sinx)^-cosx=5^корень из двух*sinx?

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения математика тригонометрические функции степень корень из двух синус косинус алгебра уравнения с синусом математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение (25^sinx)^-cosx = 5^(корень из двух * sinx), начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

Первое, что мы заметим, это то, что 25 можно представить как 5^2. Таким образом, мы можем переписать левую часть уравнения:

• (25^sinx) = (5^2)^sinx = 5^(2*sinx)
• Теперь у нас есть: (5^(2*sinx))^-cosx = 5^(-2*sinx * cosx)

Теперь подставим это в уравнение:

5^(-2*sinx * cosx) = 5^(корень из двух * sinx)

Так как основание одинаковое (5), мы можем приравнять показатели:

-2*sinx * cosx = корень из двух * sinx

Теперь мы можем решить это уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

-2*sinx * cosx - корень из двух * sinx = 0

Выносим sinx за скобки:

sinx * (-2*cosx - корень из двух) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить это уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

1. sinx = 0
2. -2*cosx - корень из двух = 0

Решим первое уравнение:

• sinx = 0, когда x = n*π, где n - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

-2*cosx = корень из двух

cosx = -корень из двух / 2

Зная, что cos(135°) = -корень из двух / 2 и cos(225°) = -корень из двух / 2, мы можем записать:

• x = 135° + 360°k, где k - целое число.
• x = 225° + 360°k, где k - целое число.

Теперь подведем итоги. У нас есть два типа решений:

• x = n*π, где n - целое число (для sinx = 0).
• x = 135° + 360°k и x = 225° + 360°k, где k - целое число (для cosx = -корень из двух / 2).

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения.