Как решить уравнение (25^sinx)^-cosx=5^корень из двух*sinx?

Математика 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения математические уравнения тригонометрические функции синус и косинус свойства степеней корень из двух алгебраические преобразования решение тригонометрических уравнений Новый

Для решения уравнения (25^sinx)^-cosx=5^корень из двух*sinx, давайте сначала упростим его, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Перепишем 25 в виде степени 5:
   • 25 = 5^2, поэтому 25^sinx = (5^2)^sinx = 5^(2*sinx).
2. Теперь подставим это в уравнение:
   • (25^sinx)^-cosx = (5^(2*sinx))^-cosx = 5^(-2*sinx*cosx).
3. Теперь у нас есть:
   • 5^(-2*sinx*cosx) = 5^(корень из двух*sinx).
4. Поскольку основания одинаковые, можем приравнять показатели:
   • -2*sinx*cosx = корень из двух*sinx.
5. Переносим все в одну сторону:
   • -2*sinx*cosx - корень из двух*sinx = 0.
6. Вынесем sinx за скобки:
   • sinx*(-2*cosx - корень из двух) = 0.
7. Теперь у нас есть два возможных случая:
   • 1. sinx = 0;
   • 2. -2*cosx - корень из двух = 0.

Решим первый случай:

• sinx = 0, значит x = n*π, где n - целое число.

Решим второй случай:

• -2*cosx = корень из двух;
• cosx = -корень из двух / 2.
• Это значение соответствует углам, где косинус равен -корень из двух / 2. Это происходит в 2-й и 3-й четвертях.
• Таким образом, x = 3π/4 + 2nπ и x = 5π/4 + 2nπ, где n - целое число.

Итак, окончательные решения уравнения:

• x = n*π, где n - целое число;
• x = 3π/4 + 2nπ и x = 5π/4 + 2nπ, где n - целое число.