Как можно найти угол между плоскостями, которые описаны уравнениями x + y = 0 и √2x + √2z = 0?

Математика 11 класс Геометрия Угол между плоскостями уравнения плоскостей математика нахождение угла геометрия векторы скалярное произведение математические методы Новый

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями, нам нужно сначала определить нормальные векторы этих плоскостей. Уравнение плоскости можно записать в общем виде, а затем извлечь нормальный вектор из этого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение:

• Плоскость 1: x + y = 0

Это уравнение можно переписать в виде:

• x + y + 0z = 0

Отсюда мы видим, что нормальный вектор N1 к первой плоскости равен:

• N1 = (1, 1, 0)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

• Плоскость 2: √2x + √2z = 0

Это уравнение также можно переписать в общем виде:

• √2x + 0y + √2z = 0

Таким образом, нормальный вектор N2 ко второй плоскости равен:

• N2 = (√2, 0, √2)

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, нужно использовать формулу для угла между нормальными векторами:

Косинус угла θ между двумя векторами N1 и N2 можно найти по формуле:

• cos(θ) = (N1 · N2) / (|N1| * |N2|)

Где:

• · - скалярное произведение векторов
• |N| - длина вектора N

Теперь найдем скалярное произведение N1 и N2:

• N1 · N2 = (1 * √2) + (1 * 0) + (0 * √2) = √2

Теперь найдем длины векторов N1 и N2:

• |N1| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2
• |N2| = √((√2)^2 + 0^2 + (√2)^2) = √(2 + 2) = √4 = 2

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

• cos(θ) = (√2) / (√2 * 2) = 1 / 2

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(1/2)

Известно, что арккосинус 1/2 равен 60 градусов. Таким образом, угол между плоскостями равен:

60 градусов.