Как можно обосновать неравенство: a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0?

Математика 11 класс Неравенства неравенство математика a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 доказательство неравенства алгебра 11 класс Новый

Чтобы обосновать неравенство a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0, давайте рассмотрим его более подробно.

1. **Анализ функции**: Начнем с того, что мы можем рассмотреть функцию f(a) = a^8 - a^5 + a^2 - a + 1. Мы хотим показать, что эта функция всегда положительна для всех действительных значений a.

2. **Оценка отдельных членов**: Обратим внимание на каждый из членов в функции:

• a^8 - это всегда неотрицательное значение для любого действительного a.
• -a^5 - это отрицательный вклад, если a положительно, но он не может превысить a^8 для больших a.
• a^2 - также всегда неотрицательно.
• -a - это отрицательный вклад для положительных a.
• 1 - это положительный член, который всегда добавляет к результату.

3. **Проверка значений**: Давайте проверим несколько значений для a:

• Для a = 0: f(0) = 1 > 0.
• Для a = 1: f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 > 0.
• Для a = -1: f(-1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 > 0.
• Для a = 2: f(2) = 256 - 32 + 4 - 2 + 1 = 227 > 0.

4. **Анализ поведения на бесконечности**: При больших значениях a (например, a → ∞), член a^8 будет доминировать, и функция также будет стремиться к положительному значению. При a → -∞, член a^8 также будет положительным, так как четная степень.

5. **Вывод**: С учетом всех приведенных аргументов, можно заключить, что функция f(a) = a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 всегда больше нуля для всех действительных a. Таким образом, неравенство a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0 верно.