Как можно определить экстремум функции y=1/x+x?

Математика 11 класс Экстремумы функций экстремум функции определение экстремума y=1/x+x математический анализ производная функции Новый

Чтобы определить экстремум функции y = 1/x + x, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции могут быть минимумами или максимумами, и мы будем использовать производные для их нахождения.

1. Найти производную функции.

Сначала найдем производную функции y по переменной x:

y = 1/x + x.

Используя правило дифференцирования, получаем:

• Производная от 1/x: -1/x^2.
• Производная от x: 1.

Таким образом, производная функции:

y' = -1/x^2 + 1.

2. Приравнять производную к нулю.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

-1/x^2 + 1 = 0.

Переносим -1/x^2 на другую сторону:

1 = 1/x^2.

Теперь умножим обе стороны на x^2:

x^2 = 1.

Из этого уравнения мы получаем:

x = 1 или x = -1.

3. Определить, является ли найденная точка максимумом или минимумом.

Для этого мы можем использовать второй производный тест. Сначала найдем вторую производную:

y'' = d/dx (-1/x^2 + 1) = 2/x^3.

Теперь подставим найденные значения x:

• Для x = 1: y''(1) = 2/1^3 = 2 (положительное значение, значит, это минимум).
• Для x = -1: y''(-1) = 2/(-1)^3 = -2 (отрицательное значение, значит, это максимум).
4. Подвести итоги.

Таким образом, мы нашли:

• Минимум функции y = 1/x + x при x = 1.
• Максимум функции y = 1/x + x при x = -1.

Это основные шаги для нахождения экстремумов функции y = 1/x + x. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!