Как можно определить экстремумы функции F(x)=x⁴-4x?

Математика 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции определение экстремумов F(x)=x⁴-4x математика 11 класс анализ функции Новый

Чтобы определить экстремумы функции F(x) = x⁴ - 4x, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и решением уравнений. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

1. Найти первую производную функции:

   Сначала мы найдем производную функции F(x). Производная F'(x) показывает, как изменяется функция F(x) в зависимости от x. Для функции F(x) = x⁴ - 4x, производная будет:

   F'(x) = 4x³ - 4.

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не определена. В нашем случае, мы приравниваем производную к нулю:

   4x³ - 4 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 4x³ = 4
   • x³ = 1
   • x = 1.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

3. Определить, является ли критическая точка экстремумом:

   Чтобы выяснить, является ли точка x = 1 минимумом или максимумом, мы можем использовать вторую производную или метод знаков первой производной. Сначала найдем вторую производную:

   F''(x) = 12x².

   Теперь подставим критическую точку x = 1 в F''(x):

   F''(1) = 12(1)² = 12 > 0.

   Так как вторая производная положительна, это означает, что функция имеет минимум в точке x = 1.

4. Найти значение функции в критической точке:

   Теперь мы можем найти значение функции F(x) в точке x = 1:

   F(1) = 1⁴ - 4(1) = 1 - 4 = -3.

Таким образом, мы определили, что функция F(x) = x⁴ - 4x имеет минимум в точке (1, -3).