Как можно подтвердить, что (19 в степени 69 + 69 в степени 69) делится на 44?

Математика 11 класс Делимость чисел математика 11 класс делимость чисел степень чисел доказательство делимости 19 в степени 69 69 в степени 69 деление на 44 Новый

Чтобы подтвердить, что выражение (19 в степени 69 + 69 в степени 69) делится на 44, мы можем воспользоваться теорией делимости и проверить делимость на простые множители числа 44. Мы знаем, что 44 = 4 * 11. Поэтому нам нужно проверить делимость нашего выражения на 4 и 11.

Шаг 1: Проверка делимости на 4

Для проверки делимости на 4, нам нужно рассмотреть остатки от деления 19 в степени 69 и 69 в степени 69 на 4.

• 19 по модулю 4: 19 делится на 4 с остатком 3, то есть 19 ≡ 3 (mod 4).
• Теперь найдем 19 в степени 69 по модулю 4: 3 в степени 69. Поскольку 3 в квадрате равно 9, а 9 по модулю 4 дает 1, мы можем заметить, что 3 в степени четного числа будет равно 1. Поскольку 69 - нечетное число, то 3 в степени 69 будет равно 3.
• Теперь найдем 69 по модулю 4: 69 делится на 4 с остатком 1, то есть 69 ≡ 1 (mod 4).
• Следовательно, 69 в степени 69 будет равно 1 в любой степени, так как 1 в любой степени равно 1.

Теперь складываем результаты:

19 в степени 69 + 69 в степени 69 ≡ 3 + 1 ≡ 4 (mod 4).

Таким образом, выражение делится на 4.

Шаг 2: Проверка делимости на 11

Теперь проверим делимость на 11, аналогично рассмотрим остатки от деления.

• 19 по модулю 11: 19 делится на 11 с остатком 8, то есть 19 ≡ 8 (mod 11).
• Теперь найдем 19 в степени 69 по модулю 11: 8 в степени 69.
• Для этого можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит, что если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p) для любого a, не делящегося на p. В нашем случае p = 11, а 8 не делится на 11. Поэтому 8^(10) ≡ 1 (mod 11).
• Теперь нам нужно найти 69 по модулю 10, так как 10 - это p-1. 69 делится на 10 с остатком 9, то есть 69 ≡ 9 (mod 10).
• Таким образом, 8^(69) ≡ 8^(9) (mod 11).

Теперь можем вычислить 8^9 по модулю 11:

• 8^1 ≡ 8 (mod 11)
• 8^2 ≡ 64 ≡ 9 (mod 11)
• 8^3 ≡ 8 * 9 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11)
• 8^4 ≡ 8 * 6 ≡ 48 ≡ 4 (mod 11)
• 8^5 ≡ 8 * 4 ≡ 32 ≡ 10 (mod 11)
• 8^6 ≡ 8 * 10 ≡ 80 ≡ 3 (mod 11)
• 8^7 ≡ 8 * 3 ≡ 24 ≡ 2 (mod 11)
• 8^8 ≡ 8 * 2 ≡ 16 ≡ 5 (mod 11)
• 8^9 ≡ 8 * 5 ≡ 40 ≡ 7 (mod 11)

Теперь найдем 69 по модулю 11:

69 по модулю 11: 69 делится на 11 с остатком 3, то есть 69 ≡ 3 (mod 11).

Следовательно, 69 в степени 69 будет равно 7.

Теперь складываем результаты:

19 в степени 69 + 69 в степени 69 ≡ 7 + 3 ≡ 10 (mod 11).

Таким образом, выражение не делится на 11.

Заключение:

Мы подтвердили, что (19 в степени 69 + 69 в степени 69) делится на 4, но не делится на 11. Следовательно, (19 в степени 69 + 69 в степени 69) не делится на 44.