Как можно подтвердить тождество (sin α - cos α)² = 1 - sin²α?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества тождество подтверждение (sin α - cos α)² 1 - sin²α математика 11 класс Тригонометрия доказательство тождества Новый

Чтобы подтвердить тождество (sin α - cos α)² = 1 - sin²α, мы будем использовать алгебраические преобразования. Давайте разберем каждую часть тождества по отдельности.

Шаг 1: Раскроем левую часть тождества

Начнем с левой части: (sin α - cos α)². Мы можем воспользоваться формулой квадрата разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b². В нашем случае a = sin α и b = cos α.

Таким образом, мы получаем:

• (sin α - cos α)² = (sin α)² - 2(sin α)(cos α) + (cos α)².

Теперь подставим значения:

• sin²α + cos²α = 1 (по основному тригонометрическому тождеству).

Следовательно, левая часть равенства становится:

• (sin α - cos α)² = 1 - 2(sin α)(cos α).

Шаг 2: Перейдем к правой части тождества

Теперь рассмотрим правую часть: 1 - sin²α. Мы знаем, что по основному тригонометрическому тождеству:

• sin²α + cos²α = 1.

Отсюда следует, что:

• 1 - sin²α = cos²α.

Шаг 3: Сравним обе части

Теперь у нас есть:

• Левая часть: (sin α - cos α)² = 1 - 2(sin α)(cos α).
• Правая часть: 1 - sin²α = cos²α.

Теперь нужно показать, что 1 - 2(sin α)(cos α) = cos²α. Мы можем переписать правую часть:

• cos²α = 1 - sin²α.

Теперь давайте подставим значение cos²α в левую часть:

• 1 - 2(sin α)(cos α) = 1 - sin²α.

Таким образом, мы видим, что обе части равенства равны.

Заключение

Мы подтвердили, что (sin α - cos α)² = 1 - sin²α, используя алгебраические преобразования и основные тригонометрические тождества.