Как можно получить частное решение дифференциального уравнения, которое соответствует следующим начальным условиям?

• y" - 6y' - 25y = 9sin(4x) - 24cos(4x)
• y(0) = 2
• y'(0) = -2

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка частное решение Дифференциальное уравнение начальные условия y" y' 9sin(4x) 24cos(4x) Новый

Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения второго порядка, следуем нескольким шагам. Уравнение, которое мы рассматриваем, имеет вид:

y" - 6y' - 25y = 9sin(4x) - 24cos(4x)

В этом уравнении левая часть является однородной, а правая часть - не однородной. Мы будем решать его в два этапа: сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение не однородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение выглядит так:

y" - 6y' - 25y = 0

Для решения этого уравнения находим характеристическое уравнение:

r^2 - 6r - 25 = 0

Решаем его с помощью дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 1 * (-25) = 36 + 100 = 136

Теперь находим корни:

r1,2 = (6 ± √136) / 2

Корни будут:

• r1 = 3 + √34
• r2 = 3 - √34

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x)

Шаг 2: Частное решение не однородного уравнения

Теперь мы ищем частное решение для не однородного уравнения:

y_p = A * sin(4x) + B * cos(4x)

Где A и B - это постоянные, которые мы определим, подставив y_p в исходное уравнение. Сначала находим производные:

• y_p' = 4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)
• y_p'' = -16A * sin(4x) - 16B * cos(4x)

Теперь подставим y_p, y_p' и y_p'' в уравнение:

-16A * sin(4x) - 16B * cos(4x) - 6(4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)) - 25(A * sin(4x) + B * cos(4x)) = 9sin(4x) - 24cos(4x)

Соберем подобные члены:

(-16A + 24B - 25B) * cos(4x) + (-16B - 24A - 25A) * sin(4x) = 9sin(4x) - 24cos(4x)

Теперь приравняем коэффициенты:

• -24B = -24 (из чего получаем B = 1)
• -41A = 9 (из чего получаем A = -9/41)

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -9/41 * sin(4x) + cos(4x)

Шаг 3: Общее решение

Теперь общее решение уравнения будет:

y = y_h + y_p = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x) - 9/41 * sin(4x) + cos(4x)

Шаг 4: Определение постоянных C1 и C2

Теперь мы используем начальные условия для нахождения C1 и C2:

y(0) = 2

y'(0) = -2

Подставляем x = 0 в общее решение и производную, чтобы получить систему уравнений для C1 и C2. После подстановки и решения системы уравнений, мы сможем найти значения C1 и C2.

Так, мы получим полное решение исходного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.