Как решить краевую задачу для уравнения второго порядка Y”-2y`+5y=0 с условиями y(0)=a, y`(0)=0, если a=9?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка краевая задача уравнение второго порядка решение уравнения математика y(0)=a y`(0)=0 a=9 Дифференциальные уравнения методы решения математический анализ Новый

Привет! Давай разберем, как решить эту краевую задачу шаг за шагом.

У нас есть уравнение второго порядка:

Y'' - 2Y' + 5Y = 0

Сначала найдем характеристическое уравнение. Для этого заменим Y на e^(rt), где r — это корень, который мы ищем:

r^2 - 2r + 5 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16.

Так как дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

r = (2 ± 4i) / 2 = 1 ± 2i

Теперь можем записать общее решение уравнения:

Y(t) = e^(t) (C1 * cos(2t) + C2 * sin(2t))

Теперь применим начальные условия:

1. y(0) = a = 9
2. y'(0) = 0

Сначала подставим y(0):

Y(0) = e^(0) (C1 * cos(0) + C2 * sin(0)) = C1 = 9

Теперь найдем производную Y'(t):

Y'(t) = e^(t) (C1 * cos(2t) + C2 * sin(2t))' + e^(t) (C1 * cos(2t) + C2 * sin(2t))

Решив эту производную и подставив y'(0) = 0, мы получим:

Y'(0) = 0 = e^(0) (-2 * C1 + 2 * C2) + C1 = -2 * 9 + 2 * C2 + 9 = 0

Отсюда:

2 * C2 - 18 + 9 = 0 => 2 * C2 = 9 => C2 = 4.5

Итак, у нас есть значения C1 и C2:

• C1 = 9
• C2 = 4.5

Теперь можем записать окончательное решение:

Y(t) = e^(t) (9 * cos(2t) + 4.5 * sin(2t))

Вот и всё! Теперь ты знаешь, как решить эту краевую задачу. Если что-то непонятно, спрашивай!